Krümmungsverhalten von graphen rechnerisch bestimmen

3 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Ich finde folgenden Zusammenhang für eine konkrete Vorstellung ganz praktisch:

Eine Funktion ist überall da linksgekrümmt, wo ihre Ableitung steigt (und also ihre zweite Ableitung positiv ist).

Sie ist überall da rechtsgekrümmt, wo ihre Ableitung fällt (und also ihre zweite Ableitung negativ ist).

Sie hat genau da einen Wendepunkt, wo ihre Ableitung ein Extremum hat (und also die zweite Ableitung eine Nullstelle hat und die dritte Ableitung von 0 verschieden ist).

So machst du dir auch klar, wann eine Funktion eine Rechts-Links-Wendepunkt hat, und wann eine Links-Rechts-Wendepunkt, nämlich... ?

zuerst Wendepunkt berechnen; 4x³-12=0 ► x=1,44

jetzt Wert links von 1,44 wähle, zB 1 dann in f " einsetzen → -8 also weil negativ ist der Graph von -unendlich bis 1,44 rechtsgekrümmt

dann Wert rechts von 1,44 nehmen , zB 2 → f "(2) = 20 also weil positiv ist der G. von

1,44 bis unendlich linksgekrümmt.

Eine Funktion ist ja nicht überall gleich gekrümmt. Du musst also rausfinden, wo sie positiv und wo negativ ist. Eine Möglichkeit dafür ist, alle Nullstellen zu ermitteln und dann zu schauen, wie sie jeweils zwischen zwei Nullstellen gekrümmt ist.

Also wenn die Nullstellen der zweiten Ableitung -2 und 5 sind, test für -3, ob rechts- oder linksgekrümmt, dann weißt du's für alle Werte < -2. Dann teste für einen Wert zwischen 2 und 5 und für einen größer 5.

Das setzt natürlich voraus, dass die zweite Ableitung stetig ist, ist aber bei allen Polynomen der Fall. ;)

Was möchtest Du wissen?