Krümmungsverhalten mithilfe der 2.Ableitung herausrechnen?

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2 Antworten

Also dir sollte bekannt sein, dass die erste Ableitung einer Funktion ihre Änderungsrate an einer Stelle x darstellt.

Bsp:

f(x) = x^3 - 2x + 1

--> f´(x) = 3x^2 - 2  

Wenn f´(x) > 0 nehmen die Funktionswerte zu, für f´(x) < 0 nehmen die Funktionwerte ab, für f´(x) = 0 folgt dann schließlich keine Änderung.

Was gibt nun die zweite Ableitung an? Im Endeffekt ist ja die 2-te Ableitung nichts anderes als die 1-te Ableitung der ersten Ableitung. Sie gibt also die Steigung von der ersten Ableitung an.

Wir schließen analog wie zuvor:

f´´(x) > 0  ---> f´(x) nimmt zu , f´´(x) < 0 ---> f´(x) nimmt ab, und f´´(x) = 0 ---> f´(x) verändert sich nicht.

Ein einfaches Beispiel:

f(x) = -x^2

(siehe für graphische Darstellung folgenden Link:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+-x%5E2

)

Wir berechnen nun die erste und zweite Ableitung der Funktion:

f´(x) = -2x

f´´(x) = -2

Wir schauen uns zunächst mal nur den Graphen an, wir können beobachten, dass die Steigung zunächst positiv ist, dann immer weiter abnimmt, bis die Tangente an den Graphen schließlich im Punkt (0 | 0) waagerecht ist, und nimmt dann immer weiter ab.

Diese Beobachtung stimmt mit unserer Interpretation der 2. Ableitung überein, denn wir sehen:

f´´(x) = -2 < 0 ---> die Steigung nimmt konstant ab

Und wir sehen jetzt auch was passiert wenn die Steigung immer weiter abnimmt, d.h. die zweite Ableitung negativ ist. Es entsteht ein nach unten geöffneter Bogen wie bei der hier als Beispiel benutzten Funktion.

Die Form, diese Krümmung die dadurch entsteht nennt man "Rechtskrümmung" (eine Krümmung des Graphen im Uhrzeigersinn).

Wir können uns jetzt natürlich Fragen was passiert wenn die 2.Ableitung positiv ist, wir betrachten deshalb als Beispiel:

g(x) = x^2

Die beiden Ableitungen lauten:

g´(x) = 2x

g´´(x) = 2

Für eine graphische Darstellung siehe folgenden Link:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+x%5E2

Wir können am Graphen beobachten, dass die Steigung zunächst negativ ist und immer weiter zunimmt, bis sie dann dann im Punkt (0 | 0) den Wert 0 annimmt, anschließend steigt sie immer weiter.

Erneut stimmt das gesehene mit unserer Interpretation der 2.Ableitung überein, denn wir sehen rechnerisch:

g´´(x) = 2 > 0 ----> die Steigung nimmt konstant zu

Wir haben nun gesehen was passiert wenn die Steigung immer weiter zunimmt, d.h. die zweite Ableitung positiv ist. Es entsteht ein nach oben geöffneter Bogen wie bei der hier als Beispiel benutzten Funktion.

Die Form, diese Krümmung die dadurch entsteht nennt man "Linkskrümmung" (eine Krümmung des Graphen gegen den Uhrzeigersinn).

Somit haben wir jetzt beide Arten von Krümmung "isoliert" betrachtet, wir könnten uns jedoch auch durchaus eine Funktion vorstellen deren Krümmungsverhalten sich mehrmals ändert.

Wie wir schon zuvor gesehen haben ist eine Krümmung immer mit dem Vorzeichen der zweiten Ableitung verknüpft. Was muss also passieren, wenn sich die Krümmung ändert?

Änderung der Krümmung ---> Änderung des Vorzeichens bei der 2.Ableitung

Hierzu ein anschauliches Beispiel:

f(x) = x^3 + x^2

für eine graphische Veranschaulichung siehe folgenden Link (1. Plot):

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+x%5E3+%2B+x%5E2

Wir betrachten den Graphen und erkennen zwei bekannte Muster wieder. Der Graph "startet" mit einem nach unten geöffneten Bogen und "endet" in einem nach oben geöffneten Bogen. Der Graph zeigt also zu Beginn eine Rechtskrümmung und geht anschließend in eine Linkskrümmung um.

(Die Steigung nimmt zunächst ab und anschließend wieder zu)

Wir wollen jetzt mal die Bereiche Bestimmen in denen der Graph ein bestimmtes Krümmungsverhalten aufweist. Also wir wissen:

f´´(x) < 0 ---> Rechtskrümmung (Abnehmende Steigung)

f´´(x) > 0 ---> Linkskrümmung (Zunehmende Steigung)

f´´(x) = 0 ---> Keine Krümmung (Steigung konstant)

Jetzt müssen wir eine kleine Vorüberlegung tätigen, angenommen der Graph ändert sein Krümmungsverhalten mindestens einmal wie hier in dem Beispiel, dann heißt dies ja nichts anderes, dass f´´(x) in einem bestimmten Bereich negativ und in einem anderen positiv ist. Das heißt wenn wir von einer Krümmung zu einer anderen Wechseln wollen müssen wir entweder von + nach - wechseln oder von - nach +. Das bedeutet aber nichts anderes als das wir mit f´´(x) an der Grenze der beiden Krümmungsbereiche die 0 erreichen. Anschaulich gesprochen: (Wenn wir vom negativen (oder positivem) kommen und wollen das Vorzeichen Wechseln, dann müssen wir immer über die Null laufen!!! (Spezialfälle ausgenommen))

-1 -> -0,5 -> -0,2 -> -0,00000001 -> ... -> 0 -> .... -> 0,000001 -> 0,5

kleiner Null <-> Null  <-> größer Null

Wir wollen jetzt diesen Punkt welcher die Grenze zwischen den beiden Krümmung darstellt berechnen. Wir wissen aus unserer Vorüberlegung, dass an der Grenze zweier Krümmung gelten muss:

f´´(x) = 0     und    f´´(x) nimmt einen Vorzeichenwechsel vor

Wir wollen also unsere Beispielfunktion darauf untersuchen:

f(x) = x^3 + x^2

f´(x) = 3x^2 + 2x

f´´(x) = 6x + 2

Wir sagen also zuerst:

f´´(x) = 0 = 6x + 2 

´Nun gilt es nach x Umzuformen:

f´´(x) = 0 = 6x + 2  II - 2 II *1/6

--> x = -2/6 = -1/3

Das heißt die zweite Ableitung unserer Funktion weißt insgesamt nur eine einzige Nullstelle, also eine einzige mögliche Grenze für die Krümmung auf. Wir müssen jetzt noch überprüfen ob sich die Krümmung vor und hinter der Grenzstelle unterscheidet, indem wir die beiden Vorzeichen von der zweiten Ableitung an einer beliebigen Stelle vor und hinter der Grenzstelle vergleichen.

Ich wähle hier mal der Einfachheit:

x(vor) = -1    und  x(hinter) = 0

Einsetzen in die zweite Ableitung liefert dann:

f´´(-1) = -6 + 2 = -4 < 0   <--- Rechtskrümmung vor der Grenzstelle

f´´(0) = 0 + 2 = 2 > 0  <--- Linkskrümmung hinter der Grenzstelle

f´´(x) nimmt also tatsächlich an der Genzstelle x = -1/3  einen Vorzeichenwechsel vor, und damit eine Änderung des Krümmungsverhaltens.

Damit besitzt die Funktion also vor der Grenzstelle, für x Werte aus dem Intervall (-unendlich, -1/3), eine Rechtskrümmung und hinter der Grenzstelle, für x Werte aus dem Intervall (-1/3 , + unendlich), eine Linkskrümmung.

Die zuvor als "Grenzstelle" bezeichnete Stelle wird in der Mathematik als "Wendestelle" bezeichnet und der Punkt auf dem Graphen an dieser Stelle wird "Wendepunkt" genannt, aus mittlerweile hoffentlich offensichtlichen Gründen.

Bleibt also nur noch übrig zu erwähnen wie Vorzugehen ist, falls die zweite Ableitung mehr als nur eine Nullstelle, mögliche Wendestellen, besitzt.

In dem Fall müssen wir mit der Wahl unserer Teststellen zum prüfen eines Vorzeichenwechsels ein wenig aufpassen. Ein Beispiel:

f(x) = x^4 + 10*x^3 - 1000*x ^2

Für eine graphische Darstellung siehe folgenden Link:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+x%5E4+%2B+10*x%5E3+-+1000*x+%5E2

Wir berechnen zunächst wie gewohnt die ersten beiden Ableitungen:

f´(x) = 4x^3 + 30x^2 - 2000x

f´´(x) = 12x^2 + 60x - 2000

Wir wollen nun die möglichen Wendestellen finden, wir setzen also wie zuvor erwähnt an:

f´´(x) = 0 = 12x^2 + 60x - 2000

Wir wenden an der Stelle hier am besten die pq-Formel an und erhalten:

x(1|2) = -2,5 +/- (2,5^2 + 2000/12)^(1/2)

und damit

x(1) = ca. 10,65

x(2) = ca. -15,65

Das heißt, dass es potentiell 3 Gebiete mit unterschiedlicher Krümmung gegeben kann. Einmal vor x(2) (Gebiet 1), also für x < -15,65 , dann zwischen x(1) und x(2) (Gebiet 2), also für  -15,65 < x < 10,65, und dann noch hinter x(1) (Gebiet 3), also für x > 10,65.

Wir überprüfen nun ob ein Vorzeichenwechsel von Gebiet 1 nach Gebiet 2 stattfindet, dass heißt wir überprüfen die 2. Ableitung für eine Stelle aus Gebiet 1 und für eine Stelle aus Gebiet 2 und verlgeichen anschließend die beiden Vorzeichen. Ich wähle hier x(g1) = -20   und  x(g2) = 0

Wir erhalten also durch einsetzen in die zweite Ableitung:

f´´(-20) > 0 ---> Linkskrümmung

f´´(0) = - 2000 < 0 ---> Rechtskrümmung

--> Krümmungswechsel findet bei x(2) statt.

--> Graph ist in Gebiet 1 linksgekrümmt und in Gebiet 2 rechtsgekrümmt.

Nun überprüfen wir die zweite Stelle, gleiches Vorgehen wie vorher, nur diesmal müssen wir die zweite Ableitung jeweils an einer Stelle x aus Gebiet 2 und Gebiet 3 vergleichen. Da wir aber ja schon das Krümmungsverhalten von Gebiet 2 kennen gilt es also nur noch das Krümmungsverhalten von Gebiet 3 zu untersuchen, ich wähle daher: x(g3) = 20

Einsetzen liefert dann:

f´´(20) > 0  --> Linkskrümmung

Auch bei x(1) findet also eine Änderung des Krümmungsverhaltens statt, von einer Rechtskrümmung in Gebiet 2 hin zu einer Linkskrümmung in Gebiet 3.

Und wenn wir unsere Ergebnisse schließlich mit dem Graphen der Funktion vergleichen, so stimmen unsere Ergebnisse mit der Beobachtung überein.

Zu guter letzt noch ein guter Link zu Krümmung generell:

http://www.mathebibel.de/kruemmungsverhalten

Und zur 2. Ableitung:

http://www.mathebibel.de/zweite-ableitung

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2.Ableitung berechnen

und dann Werte einsetzen

  • positives Ergebnis --> Krümmungsverhalten ist positiv (bzw. linksgekrümmt)
  • negatives Ergebnis --> Krümmungsverhalten ist negativ (bzw. rechtsgekrümmt)
  • Null --> Wendepunkt --> ab dann ändert sich das Krümmungsverhalten bis zum nächsten Wendepunkt
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Kommentar von 2000coolmann
18.10.2016, 23:55

Meinst du mit werte einfach irgendwelche zahlen einsetzen ?

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