Krümmung des Universums?


02.07.2020, 11:11

https://www.esa.int/ESA_Multimedia/Images/2015/09/Spacetime_curvature

Dieses Bild veranschaulicht einigermaßen, was ich meinte, bloß müssten di Kugeln als Scheiben dargestellt sein.

8 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet

Hallo Fraser174,

je größer die Dimension*) einer Mannigfaltigkeit (Verallgemeinerung einer Fläche) ist, desto mehr Möglichkeiten für Krümmungen gibt es.

Eine Kurve als in eine Fläche eingebettete Linie kann lokal in einem Punkt P gekrümmt sein, aber nicht in sich, sondern in Bezug auf einen Normalenvektor n› in P. Diese Krümmung kann in (positiv) oder gegen (negativ) die Richtung von n› sein.

Bei einer in einen 3D-Raum eingebetteten Fläche lassen sich an einem gegebenen Punkt P zwei ebene Kurven in der Fläche finden, von denen eine am stärksten und eine am schwächsten gebogen ist und die einen gemeinsamen Normalenvektor n›.

Deren Krümmungen heißen Hauptkrümmungen, und ihr Produkt ist die Krümmung der Fläche. Ein Beispiel für eine positive Krümmung ist eine Kugeloberfläche, eines für negative eine Sattelfläche oder die Fläche einer Tuba. Überraschenderweise ist die eines Zylindermantels gleich Null.

Mit der Krümmung sind allerdings auch Eigenschaften verknüpft, die gänzlich unabhängig von der Einbettung in den Raum sind.

Intrinsische Krümmung

Tatsächlich lässt sich überhaupt die innere Krümmung einer Fläche völlig ohne jeden Bezug auf einen Einbettungsraum beschreiben. Das fand im frühen 19. Jahrhundert GAUSS heraus und nannte diese Erkenntnis stolz "Theorema Egregium" - zu deutsch "herausragender mathematischer Satz".

Diese Eigenschaften setzen ein Konzept voraus, dass das der Geraden verallgemeinert: Die Geodätische. Du kannst dir vorstellen, dass Du auf eine gekrümmte Fläche eine Roboter Ameise setzt, die Du darauf programmiert hast, möglichst geradeaus zu laufen. Die wird beispielsweise auf einer Kugel selbstverständlich immer auf Großkreisen laufen.

Geodätische, die an einer Stelle parallel sind, bleiben in einer flachen Mannigfaltigkeit überall parallel. In einer negativ gekrümmten Mannigfaltigkeit neigen sie aber dazu, auseinander zu laufen. Wenn einer positiv gekrümmten Mannigfaltigkeit neigen sie dazu, zusammen zu laufen, wie es z.B. die Meridiane an den Polen der Erde tun.

Verallgemeinerung

GAUSS Student RIEMANN verfasste die umfangreichste Verallgemeinerung des Konzepts der intrinsischen Krümmung von Mannigfaltigkeiten. Danach können auch Mannigfaltigkeit beliebiger Dimension intrinsisch gekrümmt sein, und zwar auch noch in verschiedene Richtungen in unterschiedlicher Weise.

Krümmung der Raumzeit

Auf dieses Konzept trifft schließlich auch EINSTEIN zurück, als er im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) die Gravitation als Krümmung der Raumzeit beschrieb. Auch hier geht es um intrinsische Krümmung, das heißt, eine Einbettung der Raumzeit in irgendetwas Höherdimensionales spielt keine Rolle.

Es geht hier um Weltlinien (WL), das sind Linien, die die Position eines Körpers als Funktion der Zeit beschreiben. Die WL eines Körpers, der im Freien Weltall eine konstante Geschwindigkeit hat, ist eine Gerade. Wird der Körper durch irgendein Antrieb ist seine WL gekrümmt. Die Beschleunigung ist allerdings anhand von Trägheitskräften messbar. Wird er allerdings durch Gravitation beschleunigt, treten keine auf, also müsste seine Weltlinien physikalisch gesehen eigentlich gerade sein. Sie ist es aber offensichtlich nicht immer. Springe ich senkrecht hoch und falle wieder herunter, ist meine WL annähernd ein Parabelstück, sie entfernt sich von der des Erdmittelpunkts und nähert sich wieder. Da ich während des Sprungs schwerelos bin, muss meine WL aber Eigenschaften einer Geraden haben. Sie ist geodätisch.

Ein Modell dafür (das nicht überstrapaziert werden sollte), ist eine Flugreise zwischen zwei Orten auf demselben nördlichen Breitengrad. Der direkte Weg ist ein (aufgrund von Verzerrungen auf Weltkarten) scheinbarer Umweg, der in höhere nördliche Breiten führt.

Das Modell zeigt natürlich eine auch extrinsisch gekrümmte, in 3D- Raum eingebettete Fläche, ist aber weniger irreführend als das beliebte Gummituch- Modell, wo man im Übrigen die Zeit nicht geometrisiert und den "Raum" (im Modell das Gummituch) als nach "unten" - was immer das heißt - ausgebeult darstellt.

Eine Murmel auf so einem Tuch folgt gerade nicht dessen Krümmung, sondern dem Streben nach "unten", im Zweifelsfall der Gravitation der Erde unter dem Tuch.

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*) In der Umgangssprache bezeichnet man als Dimension eine Richtung, die man als Hauptrichtung auswählen kann. Auf einer Fläche z.B. kann man jede Richtung aus 2 Hauptrichtungen zusammensetzen, die vorzugsweise senkrecht aufeinander stehen (sofern das definiert ist).

In der Mathematik spricht man jedoch eher von der Dimension der Mannigfaltigkeit als Anzahl der Hauptrichtungen in ihr. Eine Fläche hat die Dimension 2.

Woher ich das weiß:Recherche
 - (Physik, Philosophie und Gesellschaft, Astronomie)

Danke für diese ausführliche Antwort! Mir war nie klar, dass bei der ART nicht auf eine höhere Dimension zurückgegriffen wird. Ist dieses Modell dann falsch oder lediglich unnötig?

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@Fraser174

Das Gummituch-Modell ist zumindest irreführend. Es wäre weniger irreführend, wenn man Roboter-Ameisen darauf herumlaufen ließe, die auf das Geradeauslaufen programmiert sind und die nicht der realen Schwerkraft, sondern der Flächenkrümmung folgen.

Sie würden für die Bewegung von Lichtsignalen stehen. Hier braucht man keine unterschiedlichen Geschwindigkeiten zu berücksichtigen.

Übrigens wäre es auch besser, nach oben statt nach unten auszubeulen. Die Roboter-Ameisen würden trotzdem nach innen gelenkt, während eine Murmel dann nach außen rollen würde.

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Danke für den Stern!

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Flach ist eine Geometrieeigenschaft, nicht die Eigenschaft der Objekte. Soweit richtig.

Falsch ist der Ansatz, nur eine Dimension sei gekrümmt. Der gesamte, relativistische Raum wird gekrümmt, nicht nur eine Dimension "verbogen".

Dieses sehr populäre Bild mit den Potentialtöpfen basiert schon auf zahlreichen Vereinfachungen in der Darstellung und ist nur unter Berücksichtigung dieser Vereinfachungen gültig. Ansonsten nicht für weitere Ableitungen geeignet! (Oder: Ein Beispiel ist nur so lange gut, bis es hinkt. 😎)

Als erstes muss berücksichtigt werden, dass Physiker bei der Raumzeit gerne die Raumdimensionen in nur einen Vektor zusammenfassen. Dann hat der Raum nur noch zwei Koordination und relativistische Dinge lassen sich prima diskutieren und Erkenntnisse ableiten. Mit x-quer, t (x-quer als x mit einem Querstrich drüber) meint drei Raumdimensionen und eine Zeitdimension. Im zitierten Bild wird nur x-quer, t dargestellt, alle Raumdimensionen (und dabei ist egal, wieviele) sind in nur einer Koordinate dargestellt. Die Gravitationsobjekte müssten nicht als Kugeln, sondern als Zeitpfade abgebildet werden, aber das ist zu *brain exploded*. Daher diese sehr einfache Darstellung.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Diplom in Physik

Also, ich versuche mich mal an dieser Frage, auch wenn sie sehr abstrakt-philosophisch erscheint und ich kein sonderlich guter Physiker bin :D

Ein Beispiel: Die Erdoberfläche erscheint uns flach. Doch da die Erde rund ist, wissen wir, dass die Oberfläche dieser Kugel gekrümmt ist. Die größte Annäherung an eine gerade Linie auf dieser Oberfläche ist ein sogenannter Großkreis, es ist der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten. Zeichnen wir nun ein Dreieck auf der Erdoberfläche , das zw. folgenden Punkten verläuft:

  • Äquator
  • Nullmeridian
  • 90. Meridian

Dieses Dreieck besteht aus drei rechten Winkeln, die Winkelsumme beträgt 270 Grad: Die euklidische Geometrie versagt.

Stell Dir ein zweidimensionales Lebewesen vor, das sich auf der Erdoberfläche bewegt. Es kann sich in Nord-Süd- & Ost-West-Linien bewegen. Doch die dritte Dimension nimmt dieses Lebewesen nicht wahr. Genauso kannst Du dir vorstellen, dass unsere drei Dimensionen die Oberfläche einer unglaublich großen Kugel sind und wir dir 4. Dimension nicht wahrnehmen können.

Was genau diese vierte Dimension ist, ist nicht zu definieren, auf jeden Fall nicht mit unserem Wissen ... Ich hoffe, ich habe ungefähr auf das geantwortet, was Du meintest.

LG

Woher ich das weiß:Recherche

Ich bin mir nicht sicher, ob "meine" Darstellung von der Flachheit mit der Krümmung in den vierdimensionalen Raum zutrifft.

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@Fraser174

Rein mathematisch gesehen ist das Krümmungsverhalten eines 3-dimensionalen Raumes auch dann definiert (über die Winkelsummen), wenn er sich nicht darstellt als Teilraum eines 4-dimensionalen Raumes.

Aber du hast natürlich recht: Unser 3-dimensionaler Raum scheint ja tatsächlich eingebettet in die 4-dimensionale Raumzeit. Genau genommen gibt es den Raum aber nur als so eine Art "Schatten" der Raumzeit, der sich aus Sicht relativ zu einander bewegter Beobachter unterschiedlich darstellt. Kurz: Der Begriff "unser 3-dimensional Raum" ist gar nicht eindeutig definiert. Eindeutig gegeben ist nur die Raumzeit, die aber ist 4-dimensional, und wer sagt, das Universum habe nahezu "flache" Geometrie spricht von der Raumzeit, nicht einfach nur vom Raum. Flachheit in diesem Sinne setzt keine Einbettung der 4-dimensionalen Raumzeit in einen umfassenderen 5-dimensionalen Raum voraus.

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In sich flach, ja.

Es könnte noch gebogen sein wie eine Zylinder- oder Kegelfläche, aber nicht wie eine Kugel- oder Lampenschirmfläche.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Studium, Hobby, gebe Nachhilfe

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