Koordinatengleichung in eine Parametergleichung umwandeln (Geometrie)

...komplette Frage anzeigen Die Aufgabe - (Mathe, Mathematik, Abitur)

1 Antwort

Die Parametergleichung stimmt meines Erachtens.

b) ist ein bisschen knifflig ohne Skizze ^^ Da diese Lichtquelle punktförmig ist, geht von ihr eine Lichtkugel aus. Nun soll die Strecke AB einen Schatten werfen. Es erscheint sinnvoll, dass diese Strecke durch den Schatten von Punkt A und den Schatten von Punkt B begrenzt ist. Man sollte also zunächst berechnen, wo der Schatten von Punkt A liegt.

Dazu kann man eine Geradengleichung durch P und A aufstellen und den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene E ausrechnen. Dies ist der Schatten von A.

Anschließend macht man dasselbe mit B.

Diese beiden Schattenpunkte - ich nenne sie A' und B' - sind nun Anfangs- und Endpunkt der Schattenstrecke A'B'. Du musst nun also nur noch ihren Abstand ermitteln ;)

Grand777 26.08.2012, 16:26

kannst du mit vllt auch sagen wie man eine Koordinatengleichung in eine Parametergleichung umwandelt ? und evtl. ob die Gleichung die ich geschrieben habe richtig ist ?

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Melvissimo 26.08.2012, 17:24
@Grand777

Du hast ja eine Ebenengleichung in Koordinatenform, die etwa so aussieht:

x + 3y + -4z = -6.

Am Ende wollen wir eine Ebenengleichung in Parameterform haben. Das heißt, wir wollen einen Punkt in der Ebene und zwei Vektoren, die diese Ebene aufspannen. Wir fangen damit an, dass wir eine der drei Variablen in Abhängigkeit der anderen beiden Ausdrücken. Beispielsweise machen wir das für z:

x + 3y - 4z = -6

<=> x + 3y + 6 = 4z

<=> z = 1/4 x + 3/4 y + 3/2.

Das wäre geschafft. Jede z-Koordinate lässt sich also so in Abhängigkeit der ersten beiden Koordinaten ausdrücken. Damit sind x und y sogenannte Parameter. Wir taufen sie in r und s um.

=> z = 1/4 r + 3/4 s + 3/2. So, nun gucken wir uns die Gleichungen, die wir für x, y und z haben einmal an:

x = r

y = s

z = 3/2 + 1/4 r + 3/4 s. Die ersten beiden Gleichungen gelten, weil ich oben x in r und y in s umbenannt hab :D

Diese Gleichungen können wir nun in den Allgemeinen Vektor (x|y|z) einsetzen. Es ergibt sich:

(x|y|z)

= (r|s| 3/2 + 1/4 r + 3/4 s). Nun wende ich die Definition der Vektoraddition rückwärts an. Das klingt kompliziert, heißt aber im Prinzip nur dass ich den Vektor künstlich auseinanderziehe ^^

= (0 | 0 | 3/2) + (r | 0 | 1/4 r) + (0 | s | 3/4 s). Du siehst, ich habe hier nach dem Parameter sortiert. Jetzt kann ich die Definition der Skalarmultiplikation rückwärts anwenden:

= (0 | 0 | 3/2) + r * (1 | 0 | 1/4) + s * (0 | 1 | 3/4). Du siehst also, dass deine Gleichung richtig ist.

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