konvergieren diese Reihen?!

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4 Antworten

Eine Übersicht von Grenzwerten vieler Funktionen und Summen findest Du unter
http://www.gerdlamprecht.de/nichttrivialeGrenzwerte_Limes.html

Wie hier bereits richtig genannt wurde, kann man umformen: = Σ (1/2)^k - Σ(1/4)^k

und damit §9 anwenden.

Achtung: wenn nicht bei 0 beginnt, muss dieses eine Glied extra hinzu oder abgezogen werden.

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Hast du absichtlich n=1 geschrieben, oder soll das k=1 heißen? Weil sonst ist die Konvergenz abhängig von k. Und wenn es konvergiert heißt das nur, dass es einen Grenzwert gibt, welcher das ist ist egal.

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Kommentar von TaLeSe
29.11.2013, 15:49

ja k = 1 sollte das heißen :)

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Eine Reihe ist eine spezielle Folge. Wenn du beispielsweise die Folge

a_n = 1/n betrachtest, dann ist die Folge

s_n = Summe (von i = 1 bis n) a_i

eine Reihe. Eine Reihe ist also eine Folge von Partialsummen. Damit ist eine Reihe konvergent, falls die Folge der Partialsummen konvergiert. Daher lässt sich deine Frage mit "Nein" beantworten.

In unserem Beispiel ist

  • s_1 = 1/1

  • s_2 = 1/1 + 1/2

  • s_3 = 1/1 + 1/2 + 1/3

usw. Man kann aber zeigen, dass die Folge dieser Summen unbeschränkt ist, also über alle Grenzen hinauswächst. Daher ist der "Grenzwert" der Reihe unendlich.

Sei nun b_n = 1/2^n und wiederum

t_n = Summe (von i = 1 bis n) b_i.

Dann ist

  • t_1 = 1/2

  • t_2 = 1/2 + 1/4 = 3/4

  • t_3 = 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8

  • t_4 = 7/8 + 1/16 = 15/16

usw. Man kann zeigen, dass diese Reihe gegen 1 konvergiert.

Insbesondere ist die Reihe konvergent, hat aber __nicht__ den Grenzwert 0.

In deinem Fall kann man die Reihe etwas aufspalten:

Σ ( 2^k-1)/ 4^k

= Σ 2^k / 4^k - 1 / 4^k

= Σ (2/4)^k - Σ (1/4)^k [Diesen Schritt darfst du nur deswegen machen, weil die beiden Reihen konvergieren.]

= Σ (1/2)^k - Σ(1/4)^k. Nun gilt 1/2 < 1 und 1/4 < 1, also kannst du nun die Formel für die geometrische Reihe anwenden.

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Kommentar von TaLeSe
29.11.2013, 15:53

aber wenn ich z.b. so weitermache:

Σ 1/(2k )- Σ (1/4k)

= Σ (1/2) * (1/k) - Σ (1/4) * (1/k)

= (1/2) * Σ (1/k) - (1/4) * Σ (1/k)

dann hab ich ja die subtraktion 2er harmonischer ( also spezieller Reihen.) und daraus kann ich ja schließen, dass die Reihe Σ ( 2^k-1)/ 4^k nicht konvergiert. oder? ....?

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naja überm bruch steht dann

1,2,4,8,....

und unterm bruch

1,4,16,64,....

der nenner wächst also viel schneller als der zähler. somit konvergiert die zahl gegen null.

Konvergieren heißt glaub ich nur, dass sich die zahl einem wert annähert (der kann auch was anderes als null sein).

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Kommentar von gh7401
30.11.2013, 23:34

So isses. oben wächst es im Quadrat und im Nenner mit der 4. Potenz. Da bruachen wir nicht weiter nachzudenken. Es wird gegen Null kovergieren ( beim üblichen Konvergenzbegriff jedenfalls)

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