Konvergenzintervall für das Newtonverfahren

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Hinreichend für die Konvergenz wäre, wenn jede Iteration näher an die Nullstelle wandern, sie aber nicht überspringen würde:

Für x<x0 sollte die Tangente also bei f(x)>0 nicht weniger fallen als f(x)/(x-x0), bei f(x)<0 mindestens steigen wie f(x)/(x-x0). Dazu reicht nach dem Mittelwertsatz wiederum eine Linkskurve f ' '(x)≥0 (wenn f(x)>0) bzw. Rechtskurve f ' '(x)≤0 (wenn f(x)<0). (Mal' Dir eine Skizze.)

Analog untersucht man x>x0 und erhält zusammen: kein Wendepunkt vor x0, und keiner danach, dann konvergiert's!

Findest Du also ein Intervall I um die Nullstelle mit f ' '(x) ≠ 0, bist Du fein raus! "Anständige" Funktionen haben das. Nur bei der Nullstelle selbst kann f ' ' gern auch mal Null werden (z.B. bei x⁴ ). Dann findest Du aber (mit den gleichen Überlegungen) hoffentlich noch ein Intervall I mit f ' '(x) ≤ 0 oder eins mit f ' '(x) ≥ 0.

Je später der Abend, desto wirrer die Antworten... Ich versuch's nochmal:

Im Newton-Verfahren wird durch f '(x) geteilt. Deshalb wird immer f ' ≠ 0 vorausgesetzt. Meist ist das ja kein Problem. Dumm nur, wenn f '(x₀) = 0 ist.

Landest Du nach einer Iteration genau auf x₀, brichst Du einfach ab, musst also nicht durch Null teilen. Ansonsten brauchst Du natürlich f '(x)≠0. Aber den Standardbeweis für die Konvergenz kannst Du bei f '(x₀)=0 in die Tonne treten. Deine Aufgabe ist, ihn zu reparieren.

Als Konvergenz-Kriterium habe ich f ' '(x) ≠ 0 vorgeschlagen: 

Mit vier Fallunterscheidungen kannst Du zeigen, dass man mit jeder Iteration immer näher an die Nullstelle x₀ rückt und sie dabei nie überspringt. Dann muss das Verfahren konvergieren.

Fall 1.1 -- x<x₀ ∧ f ' '(x)>0: Zu zeigen ist x < x - f(x)/f '(x) ≤ x₀. Der linke Teil ist klar wegen f(x)>0 und f '(x)<0. Die rechte Ungleichung formst Du um zu f '(x) ≤ (f(x)-f(x₀)) / (x-x₀) = f '(z) für ein x<z<x₀; das ist richtig, weil f ' monoton steigt (f ' '(x)>0).

Die anderen drei Fälle gehen analog.

Wenn Dein Lehrer schlecht drauf ist, würgt er Dir womöglich eine Funktion rein mit f ' '(x₀)=0 (z.B. f(x)=x²). Deshalb habe ich als Alternativen f ' '(x) ≥ 0 und f ' '(x) ≤ 0 genannt. Die obige Beweisführung klappt damit genauso.

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@ralphdieter

Zum Üben: Finde für folgende Funktionen ein möglichst großes Intervall um x₀=0, auf dem das Newton-Verfahren konvergiert:

  • f₁(x) = x³
  • f₂(x) = x⁴ - cx² (c∈IR)
  • f₃(x) = x² / (x²+1)
  • f₄(x) = tan² x

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Solange die Funktion im betreffenden Bereich keine "zu kleinen" Steigungen hat, insbesondere entweder rechts- oder linksgekrümmt ist, ändert sich an der Konvergenz nichts.

Kennst du noch das Konvergenzkriterium für das Newton-Verfahren? Damit sollte sich dies für ein paar Klassen von Funktionen nachweisen lassen.

Es wäre sehr nett, wenn Du die Funktion ?? und die Nullstelle ?? angeben würdest.

Das wurde beides nicht angegeben, weil es ja unsere Klausur ist und er hat sich eben auch keine Beispiele ausgedacht.

Ich will es auch gar nicht unbedingt an einem Beispiel vorgerechnet bekommen, sondern einfach nur die einzelnen Schritte wissen, wenn das geht :)

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Das Newton-Verfahren funktioniert ja so, dass in einem Punkt P

des Graphen (der möglichst nahe an der gesuchten Nullstelle N liegt)

die Tangente bestimmt wird und deren Nullstelle N' berechnet.

Diese liegt dann i.A. näher an N als P.

(Dann wird der Punkt P' des Graphen berechnet, der den x-Wert

von N' hat, und wieder die Tangente gebildet usw.)

Wenn nun der Anfangspunkt  P zu weit weg von N ist, könnte N'

auch weiter entfernt von N sein, als P (zB auch, wenn ein

Wendepunkt zwischen P und N liegt). Dann konvergiert das

Verfahren nicht, man kommt nicht schrittweise dem Punkt N näher.

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