Konvergenz von Funktionenfolgen?

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2 Antworten

Das mit der punktweise Konvergenz ist so offensichtlich. Fixiere einen beliebigen x-Wert in [0,1] (zur Not mache eine Fallunterscheidung) und schaue, wie sich die Folge (g_k(x))_k entwickelt. Das kriegst du locker hin. Nenne diese Funktion g. Zeige, dass g stetig ist (auch offensichtlich), das wird bald helfen.

Jetzt kannst du zwei Methoden anwenden:

1. Die nur für diese konkrete Situation nützliche Methode… fixiere ein ε > 0. Dann untersuche für fixiertes n und variables k die Gleichung

Sup{|g_k(x)–g(x)| : x∈[0,1]} < ε

Da g, g_k stetig sind und [0,1] kompakt ist, ist Sup eigentlich Max. Eigentlich sind g, g_k stetig diffbar, sodass wir das lokale Max leicht bestimmen können und nur dieses sowie die Randwerte untersuchen müssen. Es sollte vllt aufwendig aber machbar sein, einen expliziten Ausdruck für eine untere Schranke k(ε) zu bestimmen, so dass gilt k ≥ k(ε) ⟹ |g_k(x)–g(x)| < ε für alle x.

2. Eine für allgemeinere Situationen nützliche Methode. Zeige, dass (g_k)_k monoton fallend ist, d. h. für alle x ∈ [0, 1] und i < j gilt g_i(x) ≥ g_j(x). Das ist einfach, da k ⟼ x^k monoton fallend ist für x ∈ [0, 1]. Dann wende Dinni’s Lemma an:

Lemma. Sei X ein topologischer Raum und (ƒ_i)_i ein Netz ⊆ C_c(X,ℝ) und ƒ ∈ C_c(X,ℝ), d. h. reellwertige stetige Funktionen mit kompaktem Träger, und so dass ƒ_i ⟶ ƒ punktweise und monoton (fallend oder wachsend). Dann gilt ƒ_i ⟶ ƒ gleichmäßig.

Beachte, dass die Funktionen nur auf [0,1] definiert sind.

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