komplizierte Wahrscheinlichkeitsrechnung

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3 Antworten

Ich hab jetzt die Lösung des Problems:

1) Man überlegt sich, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, dass alle Herz haben. Dazu müsste man die Herzen so an die Spieler verteilen, dass alle mindestens ein Herz haben: ([Anzahl der Herzen des ersten Spielers], [Anzahl der Herzen des zweiten Spielers], [Anzahl der Herzen des dritten Spielers], [Anzahl der Herzen des vierten Spielers])

(1,1,1,3), (1,1,3,1), (1,3,1,1), (3,1,1,1)

(1,1,2,2), (2,2,1,1), (1,2,1,2), (2,1,2,1), (2,1,1,2), (1,2,2,1)

2) Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Möglichkeiten, wobei alle Möglichkeiten der oberen und alle Möglichkeiten der unteren Zeile wie folgt zusammengefasst werden können:

Wahrscheinlichkeit für eine Austeilmöglichkeit, dass der erste Spieler 1 Herz hat:

(6 * 42! / 31!) / (48! / 36!)

Da der Spieler die Herzkarte als 1., 2., ..., 12. Karte bekommen kann, muss man die Wahrscheinlichkeit noch mit 12 multiplizieren.

Wahrscheinlichkeit für eine Austeilmöglichkeit, dass der zweite Spieler 1 Herz hat:

(5 * 31! / 20!) / (36! / 24!)

Da der Spieler die Herzkarte als 1., 2., ..., 12. Karte bekommen kann, muss man die Wahrscheinlichkeit noch mit 12 multiplizieren.

Wahrscheinlichkeit für eine Austeilmöglichkeit, dass der dritte Spieler 1 Herz hat:

(4 * 20! / 9!) / (24! / 12!)

Da der Spieler die Herzkarte als 1., 2., ..., 12. Karte bekommen kann, muss man die Wahrscheinlichkeit noch mit 12 multiplizieren.

Wahrscheinlichkeit für eine Austeilmöglichkeit, dass der vierte Spieler 3 Herz hat:

(3! * 9!! / 0!) / (12! / 0!)

Da der Spieler die erste Herzkarte als 1., 2., ..., 12. Karte bekommen kann,es für die zweite dann noch 11 Plätze gäbe und für die dritte nur noch 10 freie Plätze, muss man diese Wahrscheinlichkeit mit 121110 multiplizieren. Da aber egal ist ob die erste, die zweite oder die dritte Herzkarte an erster Stelle ist, und es 3! Möglichkeiten gibt die drei Herzkarten untereinander anzuordnen muss man jetzt noch durch 3! teilen.

Nach der Pfadregel folgt:

(6 * 42! / 31!) / (48! / 36!) * (5 * 31! / 20!) / (36! / 24!) * (4 * 20! / 9!) / (24! / 12!) * (3! * 9!! / 0!) / (12! / 0!) * 12 * 12 * 12 * 12 * 11 * 10 / 3!

was sich kürzen lässt zu:

(6! * 42!) / 48! * 12^4 * 11* 10 / 3!

Daraus folgt, dass alle Möglichkeiten die Herzen zu verteilen aus der ersten Zeile gleich wahrscheinlich sind.

Die Wahrscheinlichkeit jeder Möglichkeit in der zweiten Zeile lautet

(6! * 42! / 48! *12^4 * 11 ^2 / 2! / 2!

3) Zum Schluss muss man nur noch alle Wahrscheinlichkeiten addieren:

(6! * 42!) / 48! * 12^4 * 11 * 10 / 3! * 4 + (6! / 42!) / 48! * 12^4 * 11^2 / 2! / 2! * 6 = 0,43

Ich hoffe jetzt mal, dass ich keinen (Schreib-)Fehler gemacht habe.

Tom

das ist mir zu hoch. ich spiele schon so lange Doko und sage den mathematikern - bei doko ist alles möglich. Es geht ums gewinnen und den Partner schnell auszu machen. Ich hab schon mit superblättern verloren un d mit Schei*blättern gewonnen. Nicht wegen einer Wahrscheinlichkeit - sondern weil Partner mit mir oder nicht mit mir gespielt hat.

Aber toll, daß euer lehrer auf so eine Idee kommt. Vorschlag: wenn ihr das Spiel nicht kennt gründet eine AG. Praxis ist spannender als alle theorie ♥

moTTom 04.11.2012, 18:38

Ich spiele auch seit kurzem mit ein paar Leuten aus meiner Klasse Doko. Ich beschäftige mich halt auch außerhalb der Schule manchmal mit Mathe, so ist mir die Idee gekommen.

Unser Lehrer hat übrigens auch noch keine Idee, überlegt aber noch.

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Das mit dem Gegenereignis ist eine gute Idee!

Definieren wir zwei Ereignisse:

A:= einer der Spieler hat kein Herz

B:= jeder Spieler hat ein Herz.

Beide Ereignisse sind diskunkt, und die W-keit ihrer Vereinigung beträgt 1.

Es gilt: P(A) = 1 - P(B)

P(B) lässt sich folgenderweise berechnen:

da jeder Spieler ein Herz bekommt und man insgesamt 6 Herzen hat, so kann man die ersten 4 Herzen gleich an alle 4 Spieler verteilen. Bei den restlichen 2 Herzen spielt es nun keine Rolle, an wen sie gelangen.

Deshalb werden 48 - 4 = 44 Karten an 4 Spieler mit je 11 Karten beliebig verteilt.

Die Anzahl der Möglichkeiten beträgt dafür:

(44 über 11) * (33 über 11) * (22 über 11) * (11 über 11)

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(A) beträgt somit:

P(A) = 1 - (44 über 11) * (33 über 11) * (22 über 11) * (11 über 11)

Den Rest bitte selbst ausrechnen.

Kungfukuh 31.10.2012, 16:25

Kleine Korrektur:

der Wert (44 über 11) * (33 über 11) * (22 über 11) * (11 über 11) stellt die Anzahl der Möglichkeiten, und keine Wahrscheinlichkeit dar.

Deshalb muss der Wert durch die Anzahl aller Möglichkeiten dividiert werden.

Und die letzte beträgt (48 über 12) * (36 über 12) * (24 über 12) * (12 über 12)

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(A) beträgt also:

1 - [(44 über 11) * (33 über 11) * (22 über 11) * (11 über 11) / (48 über 12) * (36 über 12) * (24 über 12) * (12 über 12)]

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moTTom 31.10.2012, 16:31

A ist bei dir: mindestens ein Spieler hat kein Herz

was meinst du mit: (44 über 11) ?

wo bleiben die letzten 4 Karten

Tom

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Kungfukuh 31.10.2012, 17:04
@moTTom

was meinst du mit: (44 über 11) ?

(44 über 11) ist eine Schreibweise, und steht für 44! / (11! * 33!), wo "!" für Fakultät steht.

wo bleiben die letzten 4 Karten

wie ich geschrieben habe, werden diese an die vier Spieler im voraus verteilt.

....

btw, du hast mich gerade auf einen Gedanken gebracht.

Möglicherweise habe ich etwas unterlassen.

Ich bezweifle nun ehrlich gesagt die Richtigkeit meiner Lösung. Also: keinesfalls übernehmen! Modifizieren gerne! :-)

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