Komplexe Zahlen Referat

2 Antworten

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Abgesehen von den praktischen Anwendungen - insbesondere in der Physik - gibt es zwei schöne (rein) mathematische Herleitungen.

a) Man kann die komplexen Zahlen als R x R auffassen. Wenn die normalen Zahlen auf den Zahlenstrahl passen, dann bilden die komplexen Zahlen eine Ebene. Damit kann man für einen Vortrag schöne Bilder zeichen :)

b) Du überlegst dir, dass du Nullstellen von Polynomen finden möchtest. Z.B. ist die Nullstelle von x^2 -1 = 0 -> x = +1, x=-1.

Das geht meistens ohne Probleme. Was ist aber die Nullstellen von x^2 +1 = 0. Da müsstest du eigentlich die Wurzel aus -1 ziehen. Das geht aber nicht. Also Denkst du dir eine neue Zahl aus: i, und sagst i = wurzel(-1).

(Jetzt könnte man noch zeigen, dass diese Definition auf eine gewisse Art und Weise sinnvoll ist. Das geht aber zu weit.)

Viele Grüße, Die Ente

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Vielen dank für deine Antwort nun hab ich wieder ein paar Fragen aber mehr zum Verständnis: Polynomen damit sind Funktionen gemeint oder? sah für mich wie eine Funktion aus ;) und wie meinst du bei a das mit der neuen Ebenen also meinst du das man zum darstellen dieser Zahlen ein komplett neuen Zahlenstrall braucht ? Vielen Dank nochmal Dominik Schumann

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Und wenn es eime Funktion ist dann meintest du das die Nullstellen f(x)=x^2-1 das die Nullstellen x=1 und y=-1 ;) Trotzdem vielen Dank ;)

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@Dommicrafter

Ja, Polynome sind Funktionen. Eine besondere Art von Funktionen, die in vielen Bereichen verwendet wird. in der Regel sieht ein Polynom so aus:

f(x) = ax^n + b2x^(n-1) + ... + k*x + l

wobei n eine natürliche Zahl ist und a,b,...,k,l beliebige Zahlen sind. In deinem Thema ist aber sinnvoll anzunehmen, dass sie ganze Zahlen sind. (Anmerkung: Ich kenne den Schulstoff nicht mehr so genau. Ich wusste nicht, ob du die Notation f(x) kennst).

Zur Ebene: Wenn du eine komplexe Zahl z = a + b*i hast, kannst du die auch wie folgt darstellen: (a;b). Das i für den zweiten Teil denkst du dir dann nur noch. Wenn du jetzt zwei Zahlenstrahlen senkrecht aneinander legst, such du auf dem einen das a und auf dem anderen das b. Die Schnittpunkte der Senkrechten geben dann deine Zahl.

Hier ein Bild, das ich auf die Schnelle gefunden habe: http://www.natur-struktur.ch/fraktale/images/gaussebene.png

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Zuerst ist i² = -1 eine Definition. Das heißt, du kannst negative Wurzeln generell ziehen, indem du das -1 zu i² (oder wie in ingenieurstechnischen Anwendungen j²) ersetzen. i² ist also immer gleichzusetzen mit -1 und umgekehrt. Dadurch kannst du in allen negativen Zahlen die (-1) ausklammern, und zu i² substituieren.

Das hat besonders in der Elektrotechnik den Vorteil, dass du in allen Anwendungen Nullstellen berechnen kannst, indem du im Falle einer negativen Wurzel somit einen Imaginärteil erhälst (Beispiel: Wurzel(-4) = Wurzel(4*i²) = 2i).

Diese Zahlen (a+ib) werden dann in einer komplexen Zahlenebene aufgetragen.

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Dankeschön das heißt also das man von allen Wurzeln das negative berechnen kann indem mann die negative zahl in die positive zahl und i^2 trennen kann.... und kann man bei deinem Beispiel 2i noch berechnen? oder bleibt das jetzt die imaginäre Zahl?

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@Dommicrafter

Richtig, dadurch lassen sich sämtliche negativen Wurzeln ziehen.

Das 2i ist dann der Imaginäranteil deiner komplexen Zahl. Damit kannst du nichts mehr machen, außer (je nach Bedarf) damit Rechnen oder grafisch darstellen.

Eventuell erhälst du mittels Mitternachtsformel z.B noch einen Realteil, aber das hängt ganz von der Anwendung ab.

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