Komplexe Zahlen den Winkel berechnen?

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4 Antworten

Ich gebe dir mal ein Beispiel
5+3i

Der Winkel dieser Funktion ist folgender
arctan(y/x)

"y" ist hierbei der imaginäre Teil, also "3" (NICHT 3i)
"x" ist der Realteil, also "5"

arctan(3/5) wäre also Phi

So gehst du IMMER vor.

"manchmal muss man ja pi rechnen"
Ja das musst du, das ist abhängig davon in welchem Quadrant die Koordinaten stehen.

Wenn du es weißt kannst du es folgendermaßen berechnen.

1. Quadrant Phi= arctan(y/x)
2. Quadrant Phi= arctan(y/x) + pi
3. Quadrant Phi= arctan(y/x) + pi
4. Quadrant Phi= arctan(y/x) + 2*pi

Mehr muss du nicht wissen.

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Weil der Tangens von φ (sofern der zwischen -π/2 und +π/2 liegt) Gehenkathete durch Ankathete ist. Du kannst Komplexe Zahlen als Vektorpfeile darstellen, und als solche bilden

x = Re(z),
iy = i·Im(z)
und
z = x + iy

ein rechtwinkliges Dreieck.

Dass φ, der Winkel von z mit demr positiven x-Achse (also Realachse), zugleich der zwischen z und x ist, setzt freilich ein positives z voraus. Ist z negativ, so muss zu arctan(y/x) noch π addiert oder subtrahiert werden, je nachdem, ob y negativ oder positiv ist.

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Ich würde mich da eher fragen, warum man eine komplexe Zahl überhaupt so darstellen kann :-D

Ist aber mein Problem.

Die eigentliche Aufgabe ist easy:
Bestimme erst einmal
p=Re(z)
q=Im(z)

Dann ist, wie du dir grapisch leicht herleiten kannst:
r^2=p^2+q2
bzw. r=sqr(p^2+q^2)

Und für den Winkel
tan(phi)=q/p
bzw. phi=arctan(q/p)

Guck dir einfach mal an, wie man im 2-dimensionalen graphisch von kartesichen Koordinaten (x,y ) zu Kugelkoordinaten (r,phi) kommt.

Denn das hier ist nichts Anderes, als dass du von kartesischen Koordinaten zu Kugelkoordinaten übegehst in der komplexen Ebene!
Einziger Unterschied ist eben dass hier gilt:
x=Re(z)
y=Im(z)

Also x der Realteil, y der Imaginärteil deiner komplexen Zahl darstellt.

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Kommentar von Ir0nMan
09.02.2017, 10:03

Ich will ja kein Klugscheißer sein, aber du eine Kugelkoordinaten sind das nicht (r,phi). Das sind Polarkoordinaten.

Kugelkoordinaten wären (r,phi,tetta), also zwei winkel und der Radius.

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Ganz easy :-)

Guck mal, du hast doch die komplexe Zahl gegeben mit Re(z) = 3 und Im(z) = 1

den Winkel in dem Dreieck in der Gaußschen Zahlenebene berechnest du über den tan(Im/Re)

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Kommentar von cool27
08.02.2017, 17:54

Nur wird in der Lösung der arctan angegeben. Auf die Zahl komme ich nur auf die davor nicht.

Hier eine andere aufgabe wo man z.b. pi abziehen muss http://prntscr.com/e65ogh

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Kommentar von Ir0nMan
08.02.2017, 17:55

Tut mir leid :D, natürlich meinte ich den arctan sonst kann es ja schlecht ein Winkel sein, der raus kommt

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Kommentar von Ir0nMan
08.02.2017, 18:10

Es macht bei dem tangens bzw arctan einen Unterschied, ob du -6/-6 oder 6/6 eingibst. Da du dich ja in einem ganzen anderen Quadranten der komlexen Zahlenebene befindest :-).

Auf das hinzurechnen von pi kommst du, weil du ja den Winkel nicht in dem ersten Quadranten berechnest. Und so kommst du auf das Ergebnis.

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