Komplexe Zahlen berechnen, Hilfee?

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Ich hoffe das hilft dir.

Fehler gefunden:
Das -3i war doch richtig, was ich zuerst hatte, aber dann durchgestrichen hab ;D

Also sind die 2 Lösungen: z1 = 2i und z2 = -3i

 - (Mathe, Mathematik, komplexe zahlen)

Wie kommt es, dass du eine solche Aufgabe hast, obwohl dich das i verwirrt? Die komplexen Zahlen haben sie bei euch eingeführt, oder?

1

Sei nun folgende Gleichung gegeben:

z² + i*z + 6 = 0   mit z aus C

Gesucht seien nun die Nullstellen des komplexen Polynoms zweiten Grades.

Mit i² = -1  schreibe analog zur quadratischen Ergänzung:

z² + 2*(i/2)*z - 1/4 + 1/4 + 6 = 0   II Bin. Formel anwenden

(z + i/2)² + 25/4 = 0    II -25/4

(z + i/2)² = -25/4

Das ziehen einer Wurzel aus einer negativen oder komplexen Zahl ist kritisch, da es unendlich viele Lösungen gibt!!! Wir beschränken uns hier nur auf den Winkelbereich von -pi bis +pi.

Schreibe nun:  (-1) = e^(i*pi)

(z + i/2)² = -25/4 = 25/4 * e^(i*pi)

Eine Drehung um 2pi entspricht einer Multiplikation mit 1, daher schreibe nun:

(z + i/2)² = 25/4 * e^(i*(pi + k*2pi))   mit k aus Z

Ziehe nun die Quadratwurzel:

z + i/2 = 5/2 * e^(i*(pi + k*2pi)/2) = 5/2 * e^(i*(pi/2 + k*pi))

Mit Beschränkung auf den Bereich von -pi bis +pi erhalten wir hier als mögliche k´s :  k(1) = 0  ;  k(2) = -1

Somit erhalten wir also 2 Gleichungen:

(1): z + i/2 = 5/2 * e^(i*pi/2) = 5/2 *i

(2): z + i/2 = 5/2 * e^(i*(pi/2 - pi)) = 5/2 * e^(i*(-pi/2)) = 5/2 *(-i)

Subtrahieren wir nun in beiden Fällen i/2 auf beiden Seiten in (1) und (2), so erhalten wir als Lösungen für z:

z(1) = 5/2 *i - i*(1/2) = 2*i

z(2) = (-5/2) *i - (1/2)i = (-3)*i


Und in der Tat, wenn wir die Faktorschreibweise von Polynomen (auch von komplexen Polynomen !!!) benutzen um unser Ergebnis zu verifizieren, so erhalten wir:

(z - 2i)*(z + 3i) = z² + 3z*i - 2z*i + 6 = z² + i*z + 6

was unserem Ausgangspolynom entspricht !!!




Man könnte an dieser Stelle einen Versuch machen ein Analogon zu der pq-Formel im reellen im komplexen zu finden, betrachte daher:

z² + p*z + q  = 0    mit p,q aus C

Schreibe nun:

z² + 2*(p/2)*z + (p/2)² - (p/2)² + q = 0   II Bin. Formel

(z + p/2)² - (p/2)² + q = 0

(z + p/2)²  = (p/2)² - q

Schreibe nun die rechte Seite falls Ungleich 0 in Polarform um:

(z + p/2)² = |(p/2)² - q|*e^(i*arg((p/2)² - q ))   II Beachte Mult. mit 1

(z + p/2)² = |(p/2)² - q|*e^(i*(arg((p/2)² - q) + k*2pi))   k aus Z

Ziehen der Quadratwurzel liefert schließlich:

z + p/2 = sqr(|(p/2)² - q|) * e^(i*(arg((p/2)² - q)/2 + k*pi))

Schließlich durch Subtraktion von p/2 folgt:

z(1|2) = -p/2 + sqr(|(p/2)² - q|) * e^(i*(arg((p/2)² - q)/2 + k*pi))

k aus Z   und     -pi <= (arg((p/2)² - q)/2 + k*pi  <= +pi

Dabei kann wird das Argument berechnet zu:

arg((p/2)² - q) = arctan(Im((p/2)² - q)/Re((p/2)² - q)) + H(Re)

                     { 0    ,   Re > 0

Mit  H(Re) = {  +pi ,   Re < 0  und  Im > 0

                     { -pi  ;   Re < 0  und  Im < 0


Zugegebener Maßen ist diese Gleichung wesentlich unübersichtlicher und komplexer als im reellen.


Hier ein Beispiel an der sie angewendet werden kann:

z² + (3+i)*z + (i - 6) = 0

Mit:   p = 3 + i    und   q = -6 + i

(p/2)² - q = (3/2 + i/2)² + 6 - i = 9/4 + 3*i/2 - 1/4 + 6 - i = 8 + i/2

Re((p/2)² - q) = 8   > 0    -----> H(Re) = 0

Im((p/2)² - q) = 1/2  > 0

|(p/2)² - q| = sqr(257)/2

sqr(|(p/2)² - q|) = sqr(sqr(257)/2)


arg((p/2)² - q) = arctan(Im((p/2)² - q)/Re((p/2)² - q)) = arctan((1/2)/8)

Mit:   arctan((1/2)/8) = ca. 0.02*-pi

Einsetzten dieser Werte in unsere Formel liefert uns dann:

z(1) = ca. 1.39207 *e^(i*(-17.2004°))    mit  k(1) = 0

z(2) = ca. 4.3696 * e^(i*-172.262°)     mit    k(2) = -1


Wir nutzen schließlich wieder die Faktorform des Polynoms zur Kontrolle:

(z - z(1))*(z - z(2)) = z² + (3 + i)*z + (i - 6)

wobei dies unserem Polynom zu Beginn entspricht.

Das 'i' braucht Dich nicht zu verwirren, es ist einfach eine (natürlich Komplexe) Zahl deren Betrag 1 ist, wie bei der 1 selbst oder der −1.

Du brauchst nur die Identität

(1) ±i² = –1

zu beachten und kannst mit p=i und q=6 die pq-Formel anwenden. Ich persönlich kann mir die p-q-Formel oder gar die noch allgemeinere „Mitternachtsformel“ schlecht merken.

Daher neige ich dazu, die Quadratische Ergänzung zu benutzen, mit der man natürlich auch die pq-Formel herleiten kann:

    z² + pz + q = 0
⇔ z² + pz = –q
⇔ z² + pz + ¼p² = (z + ½p)² = ¼p² – q
⇔ z + ½p = ±√{¼p² – q}

⇔ z = –½p ± √{¼p² – q}.

Genau das ist die pq-Formel, und sie führt hier zu

(2) z = –½i ± √{–6¼} = –½·i ± 2½·i,

also müssten die Nullstellen –3i und 2i sein. Ist es auch:

 (2i)² + 2i² + 6    =    -4 – 2 + 6    = 0
(-3i)² – 3i² + 6    =    -9 + 3 + 6    = 0

Voila!

Quadratische Gleichungen haben in ℂ im Gegensatz zu ℝ übrigens immer Nullstellen, mindestens eine, die dann aber als zwei zusammenfallende Nullstellen aufzufassen sind.

Allgemein gibt es einiges Interessante zum Thema „Komplexe Zahlen“ zu sagen, das Dir diese Zahlen vielleicht etwas „weniger unheimlich“ machen kann:

Betrag und Phasenwinkel

Der Betrag einer Komplexen Zahl 

(3.1) z = x + iy, x,y ∈ ℝ

und ihrem Komplex Konjugierten

(3.2) z̄ = x – iy

ist durch

(4) |z| = √{z·z̄} = √{(x + iy)(x – iy)} = √{x² – i²y²} = √{x² + y²}

gegeben, d.h. die Komplexen Zahlen mit gleichem Betrag liegen in der GAUSS'schen Zahlenebene auf Kreisen um (0+0i), respektive sie enden dort, wenn man sie als Pfeile (Vektoren) darstellt.

Die Winkel zwischen solchen Pfeilen und dem, der die +1 darstellt, addieren sich übrigens beim Multiplizieren. Grund dafür sich nach der EULER'schen Formel

(5) e^{iφ} = cos(φ) + i·sin(φ)

jede Komplexe Zahl z auch als

(6.1) z = |z|·e^{iφ}

darstellen lässt, wobei

(6.2) x = |z|·cos(φ)
(6.3) z = |z|·sin(φ)
(6.4) y/x = tan(φ)

ist. Nach den Potenzgesetzen nämlich ist

(7) e^{a+b} = e^{a}·e^{b}.

Das Bild zeigt Dir einige Potenzen von i.

Die Potenzen von i in der GAUSS'schen Zahlenebene - (Mathe, Mathematik, komplexe zahlen)

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