Komplexe Zahlen * komplex konjugiert?

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3 Antworten

…was sowohl graphisch als auch mathematisch passiert, wenn man eine Komplexe Zahl mit ihrem komplex Konjugierten multipliziert.

Man erhält ihr Betragsquadrat.

Natürlich kann man sich das mit der 3. Binomischen Formel klar machen, mit

x := Re(z)

y := Im(z):

z·z̅ = (x + iy)(x – iy) = x² – i²y² = x² + y² = |z|² =: r²

Es geht aber auch anschaulicher: Sei

φ := Arg(z) = arctan(y/x)

(ggf. + π, falls x < 0, und φ = ±½π, falls x=0, und, je nach Konvention, + 2π, wenn φ zwischen 0 und 2π liegen soll). Dann ist

x = r·cos(φ)

y = r·sin(φ)

z = r(cos(φ) + i·sin(φ)) = r·exp(iφ)

z̅ = r·exp(–iφ),

und bei Multiplikationen ist diese Form geeigneter. Nach den Potenzgesetzen multiplizieren sich die Beträge und addieren sich die Phasenwinkel. Du kannst Dir z als Zeiger vorstellen, der bei Multiplikation mit sich selbst seiner Länge nach quadriert und um φ weitergedreht wird, bei Multiplikation mit z̅ wird er jedoch um φ zurückgedreht, also auf die ℝ₊ - Achse.

In der Quantentheorie wird ein Zustand eines Teilchens durch eine komplexwertige Funktion ψ(|x›, t) dargestellt, deren Konjugiertes ψ*genannt und das Produkt ψ*ψ(|x›, t) als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert wird, das Teilchen zum Zeitpunkt t in der Umgebung des Ortes |x› zu lokalisieren.

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Also: "Komplex * Komplex konjugiert"  ist aber eine andere Aufgabe

Ist a + b i eine komplexe Zahl, dann ist die konjugierte Zahl dazu a - b i

und ( a + b i ) ( a - b i ) =  a²  + b²

Du musst die Aufgabe genauer formulieren, was Du willst. Dein Beispiel ist kein Beispiel für "Komplex * Komplex konjugiert" 

Komplex und komplex konjugiert sind zueinander symmetrisch bezüglich der reellen Achse. Das Produkt ist eine reelle Zahl (liegt also auf der reellen Achse) mit dem gleichen Betrag wie die ursprünglichen Zahlen. 

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Laut der dritten binomischen Formel ergibt

(1- a + b * i)(1-a - b * i)

=(1-a)² - (b * i)²

=a²-2a+1- (-1)b²

=a²-2a+b²+1

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Kommentar von leonardomessi
04.11.2016, 10:33

Ich glaube nicht dass die Formel weiter hilft, da laut mein Tutor ausnultiplizieren nicht der richtige Weg ist

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