komplexe Gleichungen lösen?

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2 Antworten

Setze die jeweiligen Ansätze für z in die Gleichung ein und vereinfache so weit es geht. Was hast du dann da stehen?

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Kommentar von benz64
08.03.2017, 17:36

a-b-2 = 2i(1-ab)

und wie mache ich da jetzt weiter?

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   Die Polardarstellung dürfte der verlässlichere Weg  sein.

   x  :=  z  ²  =  2  (  1  +  i  )  =:  r  exp  (  i  ß  )      (  1a  )

    r  =  2  sqr  (  1  +  1  )  =  2  sqr  (  2  )  =  2  ^  3/2    (  1b  )

    tg  (  ß  )  =  Imag  (  x  )  /  Re  (  x  )  =  1  ===>  ß  =  Pi / 4     (  1c  )

   z  =  x  ^  1/2  =  r  ^ 1/2  exp  (  i  ß / 2  )    (  2a  )

     Aus ( 1b ) folgt

    r ^ 1/2  =  2  ^ 3/4     (  2b  )

   Die Phase ermittelst du über ein ===> Additionsteorem ( AT ) aus einem LGS ; dieses AT ließe sich sogar direkt aus der Polardarstellung einer komplexen Zahl her leiten, wenn dich das vom Hocjer reißt.

   cos  ²  (  Pi / 8 )  -  sin  ²  (  Pi / 8 )  =  cos  (  Pi / 4 )  =  1/2  sqr  (  2  )     (  3a  )

     Pytia und Goras

 cos  ²  (  Pi / 8 )  +  sin  ²  (  Pi / 8 )  =  1       (  3b  )

   Der Prototyp eines LGS; die Lösung ist immer die selbe

   cos  ²  =  Mittelwert  (  1  ;  Wurzel  )  =  1/4  [  2  + sqr  (  2  )  ]        (  4a  )

  sin  ²  =  halbe Diff.  (  1  ;  Wurzel  )  =  1/4  [  2  - sqr  (  2  )  ]        (  4b  )

    ein Problem der ===> Galoisteorie, das ich seit Jahrzehnten anmahne; die von mir entwickelten " Wurzelwurzeln "   ( W W ) Du musst nämlich noch aus der Wurzeldarstellung ( 4ab ) ein zweites Mal die Wurzel ziehen, eben die W W . Und da hätte man gerne eine Darstellung dieser W W als ===> Linearkombination von sqr ( 2 ) ; also nicht einfach so " ghostless " , wie wir Runaways sagen, Wurzelhaken drüber und den Rest dem TR überlassen. Im Rahmen meiner diesbezüglichen Forschungen muss ich dir leider die traurige Eröffnung machen: Ich habe bewiesen, dass das in unserem Zusammenhang nicht möglich ist.

     Aber eine andere W W kannst du ziehen; schau mal, was Pappi alles kann. aus ( 4ab ) folgt doch

                                   

                                           2  - sqr  (  2  ) 

        tg  ²  (  Pi / 8  )  =   ----------------------------  =    (  5a  )

                                          2  + sqr  (  2  ) 

            =  1/2  [  [  2  - sqr  (  2  )  ]  ²     (  5b  )

       Im Nenner von ( 5a ) habe ich mit der " konjugierten " Wurzel erweitert; es hat durchaus seinen guten Sinn, dass Wurzeldarstellungen im Nenner verboten sind. Und jetzt auf einmal hasst du ein vollständiges Quadrat beisammen und kannst die W W ziehen:

           

       tg  (  Pi / 8  )  =  sqr  (  2  )  -  1   (  6  ) 

 

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Kommentar von gilgamesch4711
08.03.2017, 19:14

 Ist es zulässig, " dääm sättläch ohnreufen Schööler etwas Falsches beizubringen " ? a) funktioniert nämlich nicht; soo schlau bin ich schon lange.

   z  =  u  +  i  v    (  2.1a  )

   z  ²  =  (  u  ²  -  v  ²  )  +  2  u  v  i     (  2.1b  )

   In ( 2.1b ) solltest du dir die Rechenregeln für komplexe Zahlen klar machen. Koeffizientenvergleich führt auf

   u  ²  -  v  ²  =  2    (  2.2a  )

   2  u  v  =  2  ===>  u  v  =  1    (  2.2b  )

   Die Schule ist ja naiv und löst auf. Du siehst gar nicht, dass du dich  nur im Kreis drehst, weil u und v im Wesentlichen gleich berechtigt sind. ( 2.2b ) auflösen nach v

    v  =  1 / u    (   2.3a  )

   (  2.3a  )  einsetzen in ( 2.2a )

   u  ²  -  1 / u  ²  =  2   |  *  u  ²     (  2.3b  )

  Das gibt eine biquadratische Gleichung ( BQG )

    u  ^ 4  -  p  u  ²  +  q  =  0    (  2.4a  )

    p  =  2  ;  q  =  (  -  1  )     (  2.4b  )

   Im Gegentum zu deinem Schrat hab ICH nämlich meine Hausaufgaben gemacht. Ich schmeichle mir, eine Kategorienlehre für BQG aufgestellt zu haben. Aus der cartesischen Vorzeichenregel folgt nämlich q < 0 ( siehe ( 2.4b ) genau dann, wenn du ein reelles und ein REIN IMAGINÄRES Wurzelpärchen hast. Hey das ist absurd. Real-und Imagteil einer komplexen Zahl sind immer reell.

   Woran liegt das? Wenn du hast

   z = u  +  i  v  =  U  +  i  V   ;  u  ,  v  €  |R       (  2.5a  )

    dann kann ich in ( 2.5a doch setzen

   U  :=  i  v  ;  V  :=  -  i  U    (  2.5b  )   

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