Komplette Definition einer abelschen Gruppe?

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3 Antworten

Nein die Gruppe selbst wird ja definiert über eine Menge und eine Verknüpfung.

Das bedeutet eine Gruppe macht jetzt zB nur Aussagen über die Multiplikation oder Addition und nicht über beides.

Das nächst höhere in dem man sich Gedanken über beide Operationen machen kann ist der Ring.

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Es ist zunächst einmal völlig egal, welche Gruppenoperation da steht - wenn  für eine Gruppe (G,°) gilt: 

Für alle a, b Element G ist a ° b = b ° a.

Dann ist (G, °) eine abelsche Gruppe. Welche Operation das ist, ist erst mal egal. Man überprüft für die gegebene Operation, ob das zutrifft. 

Zufällig gilt für die in der Schule benutzten Mengen (also in der Regel die Gruppen, die auf Zahlenmengen beruhen), dass sie sowohl bezüglich der Addition als auch der Multiplikation abelsch sind. Insofern: Ja, wenn du z. b. auf den reellen Zahlen, den rationalen Zahlen, den ganzen Zahlen, den komplexen Zahlen rechnest, dann gilt das Kommutativgesetz für die Addition und die Multiplikation. 

In der Mathematik gibt es allerdings eine Konvention, also eine übliche Schreibweise - man schreibt die Operation oft mit +, wenn das ganze abelsch ist (dabei kann dieses "+" etwas ganz anderes bedeuten als die Addition von Zahlen). Das ist aber nur eine Konvention und wird nicht immer so gemacht. 

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Eine Gruppe ist eine Menge mit einer Verknüpfung. Welches Zeichen du dafür machst ist egal.

Die Verknüpfung muss assoziativ sein und es muss ein neutrales Element und jedes Element ein inverses haben.

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