Kommt eine unendlich lange Zahl auch in einer anderen unendlichen Zahl vor?

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7 Antworten

Dass die Dezimaldarstellung einer Zahl unendlich ist, bedeutet nicht, dass jede beliebige (endliche) Folge dadrin vorkommt z.B. 1/3 = 0,33.. wird nie eine 4 enthalten. Zahlen, die aber diese Eigenschaft erfüllen, und jede Folge mit gleicher relativer Häufigkeit, nennt man "normal". Offensichtlich müssen "normale" Zahlen irrational sein.

Dass π diese Eigenschaft erfüllt, also normal ist, ist auch nicht vollständig geklärt, oder eher gar nicht. Berechnungen legen nahe, dass π normal sein könnte (indem man einfach per Hand die relativen Häufigkeiten von Sequenzen für ganz lange Teildezimalentwicklungen von π ausrechnet), aber bewiesen hat das noch niemand, und es ist nicht klar, wo man überhaupt anfangen soll.

Jetzt deine eigentliche Frage: Kann eine beliebige unendliche Folge in einer normalen Zahl vorhergesagt werden, z.B. sqrt(2) in π (unter der Annahme, dass π normal ist)? Das Problem ist, dass wir nicht mit Normalität argumentieren können, da Normalität nichts über unendliche Folgen aussagt.

Meine Teilantwort ist: Es sollte für die meisten Zahlen nicht gelten. Wenn unsere Ausgangszahl rational ist, gibt es genausoviele unendliche Folgen in der Dezimaldarstellung, wie die Länge der Periode der Darstellung, nämlich abhängig davon, wo man anfängt. Ab da sind alle Zahlen Zehnerpotenzen dieser Ausgangszahlen. Für irrationale Zahlen sollte es unendlich viele Zahlen geben: Du nimmst dir die Dezimaldarstellung ab einem bestimmten Punkt, schiebst irgendwo ein Komma hin, und hast eine Zahl produziert. Das sind auf jeden Fall nicht viele, nämlich abzählbar unendlich viele. Aber die Rückrichtung ist das eigentlich interessante, denn wenn deine Zahl sehr chaotisch ist wie π, dann muss man ein konkretes Beispiel immer per Hand rechnen, da es gar nicht so klar ist, ob sqrt(2) in π enthalten ist. Mit unterem Argument kann ich immerhin antworten: Keine algebraische Zahl ist in einer transzendenten enthalten. Als Beispiel wieder π und sqrt(2):

Wenn sqrt(2) in π enthalten wäre, dann wäre ab einem bestimmten Punkt k die Dezimaldarstellung von "Standard-π" "beendet" und dann übernimmt die Dezimaldarstellung von sqrt(2). Die ersten k Ziffern seihen 3,p1p2p3...pk.

Dann definieren wir die Zahl, die aus der 3, den ersten k Nachkommastellen und einer 0 dahinter besteht, als: N := 3p1p2p3...pk0.

Wir bekommen: 10^(k+1) π = N + sqrt(2), bzw: π = (N + sqrt(2))/10^(k+1). π ist aber eine transzendente Zahl (keine Nullstelle eines rationalen Polynoms), die rechte Seite ist aber algebraisch (Nullstelle eines rationalen Polynoms). Also kann sqrt(2) nicht in der Dezimaldarstellung von π liegen.

Hier wieder das bekannte Problem: Wir wissen von sehr vielen Zahlen nicht, ob sie transzendent oder algebraisch sind, dieses Argument können wir also fast nirgendwo anwenden. Echt schade aber auch, wir brauchen mehr Zahlentheoretiker!

LG

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Kommentar von Roach5
29.05.2016, 02:33

Eine kleine Vermutung, an der man rumfuchteln könnte (wenn sich hier ein echter Mathematiker findet, weil ich keine Ahnung von dem Gebiet habe):

Sei x eine reelle Zahl und D(x) die Menge der Zahlen, deren Dezimalfolge in x vorkommt (unabhängig davon, wo das Komma jetzt ist).

Dann enthält x genau dann jede endliche Zahlenfolge, wenn D(x) dicht in R ist.

Die Hin-Richtung ist trivial, aber die Rückrichtung bereitet mir Kopfschmerzen. Warum musste ich nur auf diese Frage klicken?

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Wenn die Stellen von w = Wurzel(2) in pi vorkämen, müssten beide Zahlen ab einer bestimmten Stelle gleich sein und wenn du die Differenz bildest, käme ein endliches Anfangsstück a heraus.

Nur grob skizziert:

pi - w/10^n = a bzw. a + w/10^n = pi

a ist endlich also rational, w/10^n ist eine algebraische Zahl, pi ist eine transzendente Zahl, d.h. sie kann nicht Nullstelle eines Polynoms vom Grad größer Null sein.

Intuitiv würde ich sagen, dass die Summe aus einer rationalen und einer algebraischen Zahl wieder algebraisch und nicht transzendent ist.

Beweis zur Übung ;-)

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Die Frage ist intelligenter, als die meisten hier glauben. Es verhält sich so: Man teile die Dezimalbruchentwicklung einer Zahl x in Blöcke auf z.B. in Blöcke zu je 1000 Ziffern. Dann kommen mit Wahrscheinlichkeit 1 - im Sinne der Maßtheorie - alle unendlich viele Blöcke in der richtigen Reihenfolge in einer anderen vorgegebenen  irrationalen Zahl y vor. Nur gibt es  Lücken zwischen den Blöcken, in denen andere Ziffern stehen.

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Dazu hab ich mal ein test gesehen. Du wirst keine unendliche Zahl in einer unendlichen finden. In dem test war das mit Buchstaben. Wenn man ein Affe unendlich lange auf der Tastatur Buchstaben eingeben lassen lässt, wird er irgendwann das Wort "Affe" geschrieben haben, auch wenn es nur zufällig ist. Und irgendwann wird er mal eine ganze Bibliothek komplett und fehlerfrei abgeschrieben haben. Also warum sollte das auch nicht für zahlen gelten?

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Kommentar von gerolsteiner06
23.05.2016, 19:06

Deine Auusage widerspricht sich: erst behauptest Du "Du wirst keine unendliche Zahl in einer unendlichen finden"   -was falsch ist, denn eine unendlich lange Zahlenfolge kann Teil einer anderen unendlich langen Zahlenfolge sein. da könnte ich Dir unendlich viel Beispiele geben.

Dann kommst Du mit dem Affe-Beispiel, mit dem Du genau das Gegenteil aussagst;   das für vieles herangezogen wird und meist falsch verstanden wird. Auch wenn der Affe unendlich lange auf der Tastatur tippt, kann es sein, daß er kein einziges vernünftiges Wort der Deutschen Sprache tippt (geschwiege denn ein ganzes Buch oder auch eine ganze Bibliothek) - dazu gibt es exakte Aussagen der Wahrscheinlichkeitstheorie.

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Man kann heute schon relativ genau sagen, wieviel Stellen von Pi man durchsuchen muss, um alle Ziffernkombinationen mit n Stellen garantiert zu finden:

http://www.gerdlamprecht.de/BisZuWelcherNKalleStringKombi.htm

Zahlenfolge A036903 = siehe dort

Da wir aber nur etwa 10^80 Atome im Weltall haben, gelangt man schnell an die Grenzen des Machbaren!

Andere irrationale Zahlen kannst Du vergessen, da das Ergebnis dann gegen unendlich strebt, also NIE erreicht werden kann.

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Kommentar von hypergerd
25.05.2016, 18:35

Nochmals in einfachen Worten: 

Für jede neu hinzukommende Ziffer der irrationalen Suchzahl (z.B. Wurzel von 2)

muss in Pi mehr als den Faktor 10 mal Nachkommastellen suchen!

Da die Suchzahl irrational sein soll (unendlich viele Nachkommastellen) -> ist die Position größer als ∞*10 = ∞

n  -> Position der Übereinstimmung

1   |  32

2  |  606

11 |  2512258603207

∞  |  ∞

und das Ergebnis ∞ bedeutet in der Praxis "Suchen ohne Ende" = "nie"

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Für eine irrationale Zahl p<1 hast Du ab jeder Dezimalstelle n genau eine irrationale Rest-Zahl q mit 0.1<q<1.
Dabei gilt: p = (a+q)/10^n mit a ganzzahlig.

q kannst Du nun aus p und n berechnen:

(I)    q = 10^n·p - a

wobei a die ersten n Ziffern von p sind. So kommst Du auf abzählbar viele solche Rest-Zahlen, für jedes n eine. Mehr gibt es nicht.

Wenn Du willst, kannst Du neben q auch 10^z·q (z ganzzahlig) gelten lassen (weil sie dieselben Dezimalziffern haben). Das ändert aber nichts an der Abzählbarkeit.

Fazit: Nur "wenige" Paare p, q erfüllen (I). Dein Beispiel mit p=π und q=√2 gehört leider nicht dazu. Beweis: Nach Quadrieren von (I) steht links eine 2 und rechts was Irrationales.

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Es gibt keine Zahl "unendlich". Die Vorstellung "unendlich" ist sehr abstrakt. Letztlich hat die Zahl kein Ende. Daher ist sie eigentlich keine Zahl.

1/0= unendlich

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Kommentar von Zombie789
23.05.2016, 18:57

Ich meinte damit, dass die Ziffernfolge einer Zahl unendlich lang ist und nicht, dass die Zahl selbst ∞ ist

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