Können Mathematiker eigentlich zu jeder unendlichen Zahlenreihe genau sagen, ob sie konvergiert und gegen welchen Zahlenwert genau?

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7 Antworten

Es gibt Reihen bei denen man sich nicht sicher sein kann. Hier ein Beispiel:

                                                                                  3n+1  wenn n ungerade ist
Gegeben sei die Abbildung C :|N -> |N mit C(n)={
                                                                                  n/2   wenn n gerade ist
Betrachte die Reihe a_n

                       1    wenn n nach endlich vielen Iterationen der Abbildung C 1 ist
wobei a_n = {
                       0   sonst

Die Collatzsche Vermutung ist, dass diese Reihe konstant 1 ist, also gegen 1 konvergiert.
Bewiesen ist sie jedoch nicht.

Analog kann man aus jedem ungelösten mathematischen Problem eine Reihe basteln, von der man nicht sicher sagen kann ob diese konvergiert.

Also: So lang es ungelöste mathematische Probleme gibt, gibt es auch Reihen deren Konvergenz wir nicht bestimmen können.

Also wahrscheinlich für immer.

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

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Auch wenn die Hilfreichste Antwort schon vergeben ist, hier noch 2 interessante Reihen:

http://www.gerdlamprecht.de/Liste_der_von_Menschen_begangenen_Fehler.htm

§14 kann selbst mit Rechnern, die intern mit 3000 Stellen rechnen, nicht mal 2 Nachkommastellen genau berechnet werden, da dazu 

10^(3.14*10^86) Summanden und extrem viele Nachkommastellen nötig sind!

Weiterhin sind alle Reihen, die auf ungelöste Zahlentheoretische Folgen/Funktionen aufbauen, natürlich auch unlösbar. Beispiel:

https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahltupel

"Ob es unendlich viele Primzahlvierlinge gibt, ist unbekannt" !

Vielen Dank für deine Antwort !

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Klar können Mathematiker dass. Die Theorie zur Konvergenz von Zahlenreihen ist vollständig und lässt für jede Reihe zu, diese Aussage zu machen. Üblicherweise wendet man das Integralvergleichskriterium an - oder eben das Leibnizkriterium, wenn die Reihe alterniert. 

Den Zahlenwert kann man natürlich immer nur mit einer gewissen Genauigkeit bestimmen, da er häufig transzendent ist.

Vielen Dank für deine Antwort !

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Würde ich nicht sagen. Man kann es zwar mit der vollständigen induktion prüfen, aber das klappt (bei mir) auch nicht immer (okay, ich bin auch kein Mathematiker :P)

Danke für deine Antwort !

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Nur ob sie konvergiert oder nicht, kann man ja eigentlich schon sagen. Ob es da auch Ausnahmen gibt, weiß ich nicht, aber eigentlich müsste das schon klappen :)

Danke für deine Antwort !

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Ich glaube nicht, dass er alle Reihen sofort untersuchen kann und über jede sofort im Bilde ist, aber wenn man auf Majoranten/Minoranten schließen kann, lassen sich Konvergenzuntersuchungen auf bekannte Reihen zurückführen.

Danke für deine Antwort !

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Nein

Ein Mathematiker zeichnet sich nicht dadurch aus dass er für ein bestimmtes Verfahren alle Beispiele lösen kann

Sondern dass er ein Verfahren/Gedankenkonstrukt überhaupt verstehen und auch weiterausführen/erweitern kann

Danke für deine Antwort !

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