Knobelaufgabe Mathe. Wer kann mir helfen?

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8 Antworten

Die Zahl hat 3 Ziffern a, b und c. Insbesondere soll gelten, dass 2 davon gleich sind, also sei einfach a = c. (Damit hat sie die Ziffern a, a und b). Die Quersumme der Zahl ist 25, also a + a + b = 25 => 2a + b = 25.

Nun nehmen wir mal an, dass ein a an der 100er-Stelle steht und ein a an der 10er-Stelle. Dann lässt sich die Zahl darstellen als 100a + 10a + b = 110a + b. Nun vertauschen wir die erste und die letzte Ziffer und erhalten 100b + 11a. Es soll weiterhin gelten:

110a + b - 198 = 100b + 11a => 99a - 99b = 198 => 99 (a - b) = 198 => a - b = 2 => a = b + 2.

Das setzen wir in die erste Gleichung ein: 2a + b = 25 => 2 (b + 2) + b = 25

=> 2b + 4 + b = 25 => 3b + 4 = 25 => 3b = 21 => b = 7.

Wegen a = b+2 folgt: a = 9.

Also ist 997 eine mögliche Lösung.

Vielen Dank! Bekommst auf jeden Fall das Sternchen! (:

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Ein möglicherweise nicht ganz so stur zu berechnender Weg wäre folgender: Wäre jede Ziffer gleich 8, so wäre die Quersumme nur 24. Mindestens eine Ziffer muss also gleich 9 sein. Ist 9 die einzelne Ziffer, so müssen die anderen beiden gleich 8 sein. Die größte Zahl mit den 3 Ziffern wäre 988, die kleinste 889. Aber deren Differenz ist nur 99, somit ist das keine Möglichkeit.

Ist nun 9 die Ziffer, die doppelt vorkommt, so muss die letzte eine 7 sein. Die größtmögliche Zahl ist 997, die kleinste ist 799 und tatsächlich erfüllt sie die Kriterien-

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Seien die 3 Ziffern x, y, und z. Dann hat die Zahl den Wert 100 * x + 10 * y + z., nach Vertauschen dann 100 * z + 10 * y + x

Mit den Angaben kannst Du zwei Gleichungen sicher aufstellen. Für drei Unbekannte brauchst Du 3 Gleichungen, bei der dritten hast Du die Wahl, entweder y=z oder y=x.

Rechne beide Fälle durch, voraussichtlich wirst Du nur eine einzige Lösung finden, die auch noch die Randbedingung einhält, dass alle 3 Werte >= 0 und <= 9 sein müssen.

Na du bestimmst erst die möglichen dreistelligen Zahlen mit 2 gleichen Ziffern aus welchen die Quersumme 25 entstehen kann. Und daraufhin ist es ausprobieren. Da die Zahl sich beim Austauschen der ersten und letzten Ziffer um knapp 200 ändert weißt du ja schon, dass die beiden gleichen Ziffern nebeneinander (das heißt eine der beiden in der Mitte der Zahl) stehen muss.

Logisch ist, dass die erste und die letzte verschieden sein müssen.

Die Quersumme ist ungerade. Zwei identische Zahlen addiert sind immer gerade, also muss die dritte Ziffer ungerade sein. Ist sie 5, 3 oder 1, kann man nicht mehr auf eine Quersumme von 25 kommen. Beweis: Ist sie 5 fehlen noch 20 für 25, das geht mit zwei Ziffern nicht. Ergo: eine Ziffer ist 7, dann ist das Doppelpaar 9 ODER eine Ziffer ist 9, dann ist das Doppelpaar 8

Also bleiben nurnoch 997 und 988 als mögliche Zahlen.

997 - 799 = 198 (passt)

988 - 899 = 89 (passt nicht)

Nix probieren, sondern rechnen und denken:

Wenn die drei Ziffern der gesuchten Zahl x, y und z sind, kann man ansetzen:

(1) x+y+z=25

(2) 100z+10y+x=100x+10y+z-198

10y steht auf beiden Seiten der Gleichung, kann also heraus gekürzt werden.

Dann subtrahiert man auf beiden Seiten x bzw. z und erhält

99z = 99x - 198

Das lässt sich wunderbar durch 99 teilen :

z = x - 2

Daraus folgt, dass z und x nicht die beiden gleichen Ziffern sein können, x ist also gleich y.

In Gleichung (1) eingesetzt ergibt sich somit x+x+x-2=25

damit 3x=27

x=9

y=9

z=7

Es gibt 2 Lösungen.

Diese ergeben sich aus folgendem Gedanken:

Die Zahl muss die Form aab oder baa haben, denn die erste und die letzte Ziffer müssen voneinander verschieden sein, (sonst ergäbe sich beim Vertauschen dieselbe Zahl).

Legt man die Form aab zugrunde, dann lautet die erste Gleichung des Gleichungssystems:

110 a + b = 100 b + 11 a + 198

Legt man die Form baa zugrunde, dann lautet die erste Gleichung des Gleichungssystems hingegen:

100 b + 11 a = 110 a + b + 198

Die zweite Gleichung (Quersumme) ist in beiden Fällen gleich, nämlich

2 a + b = 25

.

Aus den beiden Gleichungssystemen ergeben sich die Lösungen:

Zahl = 997 und Zahl = 977

Probe:

997 = 799 + 198

977 = 779 + 198

nur dass 997 und 977 nicht die gleiche Quersumme bilden. Eine der beiden Lösungen kann also nicht korrekt sein.

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Ich ziehe meine zweite Lösung zurück - deren Quersumme ist nicht 25 sondern lediglich 23 (hätte ich doch bloß gerechnet ... )

EDIT:

nur dass 997 und 977 nicht die gleiche Quersumme bilden.

Jau, hab's auch grad bemerkt ... :-(

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997 :) vertauscht: 799 , 799+198=997 quersumme: 9+9+7=25

997

Kein lösungsweg - ist ja eine Knobelaufgabe ^^

Also einfach rumprobieren

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