Kleines Problem mit Sinuskurven-Koordinatensistem (Pi und Gradzahlen) --> Weiterlesen!

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3 Antworten

Ich gehe davon aus, dass dir der Einheitskreis bekannt ist und du da alles verstanden hast (insbesondere wo und wieso man da den Sius und den Kosinus ablesden kann), wenn nicht, schau dir das zuerst nochmal an.

Die Angabe der Winkle mit Grad ist zwar allgemein üblich und man kann sich was drunter vordtellen, aber das Problem ist, dass es natürlich völlig wilkürlich ist, dass der Vollkreis in 360 Schritte unterteil ist. Also: Warum soll man denn den Kreis bspw. nicht in 500 Schritte untertielen, sodass also "eine Umrundung" 500° enstsprechen würde? Aus Mathematischer Sicht ist daher die Angabe eines Winkels in Grad immer etwas blöd (Es gibt da neben den im Folgenden genannten Gründen auch noch eine ganze Reihe weiterer, weshalb Winkelangaben in Grad in der MAthematik oft schlecht sind). Wenn man an den Einheitskreis denkt, gibt es da noch ein weiteres Problem: Letzlich bilden ja der Sinus und der Kosinus eine Funktion des Winkles. Das Problem: Wie man am Einheitskreis sieht, kann man dort diese beiden Größen als Längen darstellen. Aber: Wenn man den Winkel in Grad angibt, ist das keine Länge, d.h. man bringt eine "winkelgröße" in eine Länge, also in etwas völlig anderes, und das ist für einige Sachen in der MAthemtaik nicht gut (weil das dann nicht direkt vergleichbar ist). Deshalb möchte man gerne eine Größe, die im Prinzip dasselbe aussagt wir die Winkleangabe in Grad, aber möglichst von der geometrischen Interpretation im Einheitskreis auch eine Länge ist. Das ist das sogenannte Bogenamß. Darunter versteht man den Kreisbogen des Einheitskreises: Denn wenn ein bestimmter Winkel α (also in Grad) festgelegt ist, dan ist auch die Länge am Einheitskreis eindeutig festgelegt (und damit auch das entsprechende Dreieck und damit auch Sin uns cos zu diesem WErt). Besipiele: Für 360° hat man einen ganzen Kreis, damit beträgt das Bogenmaß 2π (Kreisumfang ist ja 2* r* π und der Radius ist ja beim Einheitskreis 1) . Entsprechend hat man bsp. Bei 90° einen Kreisumfang von 1/2 π

Das heißt: Mit diesem Bogenmaß hat man nun eine Größe, die von der Aussage genau dem "normalem" Winkel entspricht, aber sie lässt sich halt im Einheitskreis genau wie Sinus und Kosinus als Länge darstellen, und das macht sie gut geeignet (da also ein "richtiger" geometrischer Zusammenhang zwischen dem Kreisbogen und Sinus oder Kosinus besteht, und keine Willkürlichkeit mehr vorhanden ist). Natürlich ist es so, dass es ertsmal komplizierter ist, weil man sich vom liebgewonnenen Grad (Von dem man immer eine gewisse Vorstellung hat, wieviel das ist) verabschieden muss und nun eine Größe hat, bei der man das nicht immer so einfach was drunter vorstellen kann. Aber sie macht halt letzlich vieles einfacher. Letzlich ist damit alles nur eine Sache der Einheiten: Hat man bisher eben alles in Grad engegeben, gibt man das jetzt ohne Einheit an(das Bogenamß hat - genauso wie sin oder cos - keine Einheit) und ist damit vergleichbarer geworden. LKetzlich muss man aber sagen, dass es noch einige Gründe gibt für diese Angabe gibt, die man erst mit der Zeit (oder auch erst nach der Schule) richtig zu würdigen weiß, bzw. dann erst versteht.

Zur Umrechnung Bogenmaß-Gradwinkel: Bei 360° (Vollkreis) hat man ja einen Bogenmaß-Wert von 2&pi damit gilt allgemein für das Verhältnis von Bogenmaß x zu Gradwinkel α

x/α= 2π/360°=π/180°

In einem Fall wird ein Winkel angegeben - im anderen Fall die Länge des Weges, den man zurücklegt, wenn man auf dem Einheitskreis entlangmarschiert. Der Einheitskreis, also ein Kreis mit dem Radius 1, hat einen Umfang von 2 Pi.

Geht man nun einen Viertel des Umfangs auf dem Kreisrand entlang, hat man einen Bogen der Strecke von 2 Pi / 4, also Pi /2 zurückgelegt. Aus Winkelsicht entspricht ein Viertelkreis 90°. Die Bogenlänge am Einheitskreis wird als das "Bogenmaß" bezeichnet.

In der Physik ist das ganz gut zu gebrauchen, bei einem beliebigen Kreis mit Radius r ist der Weg auf dem Kreisbogen s = r * phi, wobei für phi einfach der Winkel im Bogenmaß eingesetzt wird. Würde man klassische Gradzahlen angeben, ließe sich das nicht so elegant und einfach ausdrücken.

Die Angabe in Grad nennt man das Gradmaß, die Angabe in Bruchteilen oder Vielfachen von pi nennt man das Bogenmaß. Der zusammenhang zwischen beiden ergibt sich auf überraschend einfache Weise aus dem Kreisumfang:

Die Formel für den Kreisumfang lautet:

U =  2* pi * r

Für einen Kreisbogen eines Kreissegmentes mit Mittelpunktswinkel alpha ergibt sich die Länge des Bogens zu

L = 2*pi*r*alpha/360

Wenn wir jetzt den Radius gleich Eins setzen (dann betrachten wir den Einheitskreis), erhalten wir für die Länge des Kreisbogens

L = 2*pi*alpha/360

Das ist nun die Formel, die Gradmaß in Bogenmaß umrechnet. Setze für alpha 90 Grad ein und du bekommst:

2*pi * 90/360 = 2*p/ 4 = pi /2

Also entspricht einem Winkel von 90 Grad ein Bogen der Länge pi/2

Alles klar?

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