Klein-Gordon-Gleichung, was sind die Variablen w und k?

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5 Antworten

Die Klein-Gordon-Gleichung beschreibt die Bewegung von Teilchen oder Wellen, bei einer Geschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit.

Auch. Eine relativistische Gleichung gilt bei jeder Geschwindigkeit, eben auch bei Geschwindigkeiten nahe c.

Du kannst sie übrigens kürzer schreiben, und zwar

(1.1) p̂^µ·p̂_µ·Φ = m²·c²·Φ.

Dabei sind p̂^µ bzw. p̂_µ die µ. Komponente des Viererimpuls-Operators (µ=0,1,2,3), in der Version mit oberem und unterem Index. Über doppelte Indizes, namentlich wenn sie einmal als untere und einmal als obere auftreten, wird gewöhnlich summiert, wenn es dort nicht ausdrücklich anders steht.

Gleichung (1.1) ist unabhängig davon, ob Φ wie bei einer Wellengleichung gewohnt als Funktion der Koordinaten (die Zeitkoordinate x⁰ = x₀ = ct eingeschlossen) vorliegt, oder z.B. als Funktion der Impulse. In der sog. Ortsdarstellung  jedenfalls hat (1.1) die Form

(1.2) ħ²·∂/∂x_µ·∂/∂x^µ Φ(x_µ) = m²·c²·Φ(x_µ)

Das »∂« schreibt man übrigens »∂«, und es ist kein delta (δ). 

Für masselose »Teilchen« ist die rechte Seite gleich 0, und natürlich beschreibt dies etwas, das sich nur mit c bewegen kann.

Nun zu den fragen, so weit ich sie jetzt beantworten kann:

1) |k› ist der Wellenvektor; seine Richtung ist die Ausbreitungsrichtung und sein Betrag 2π/λ, mit der Wellenlänge λ. |p› = ħ|k› ist der Impuls des Teilchens, den der Impulsoperator herauskitzeln will.
ω=2π/T (T Schwingungsdauer) ist die Kreisfrequenz und kann auch als k⁰ = k₀ aufgefasst werden, sodass man ωt – ‹k|x› als k^µ·x_µ bzw. k_µ·x^µ schreiben kann. E = ħ|ω| ist die Energie des Teilchens, und der Energieoperator soll gleichsam diese Energie aus der Wellenfunktion herauskitzeln.

2) Es muss wohl ∂r/∂x = x/r heißen. Warum das so ist, wurde wohl schon beantwortet.

3) Φ₀ ist eine multiplikative Konstante, die der Gleichung sozusagen egal ist, was bei der Wellenlösung die Amplitude ist. Allerdings kann ich dazu nicht viel sagen, da ich mit einer »Coulomb-Lösung« der KGG nicht vertraut bin. Daher kann ich das nicht verifizieren.

4) C ist eine additive Konstante, die der Gleichung ebenfalls sozusagen egal ist, d.h. mit Φ ist auch Φ + C eine Lösung. Das kann ich aber noch nicht verifizieren.

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Die KGG ist eine ziemlich allgemeine Gleichung. Früher dachte ich mal, sie gälte nur für so genannte Bosonen (Teilchen mit ganzzahligem Spin), erst später habe ich verstanden, dass sie auch für sog. Fermionen (Teilchen mit halbzahligem Spin), und zwar dabei für jede einzelne Komponente gelten muss.

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Kommentar von BatmanZer
23.08.2016, 12:20

Vielen Dank, dass du dich so mit meinem Problem beschäftigst.

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Omega ist normal die Kreisfrequenz also 2*pi*v bzw 2*pi*f, die beschreibt die Zeitliche "Ausbreitung" der Welle.

und k ist die Wellenzahl, oder manchmal auch als Wellenvektor bezeichnet und beschreibt die Räumliche Ausbreitung der Welle.

Omega und k sind normal über die Dispersionsrelation verknüpft.

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Kommentar von BatmanZer
22.08.2016, 15:11

Das wäre auf jeden Fall logisch, da es ja um Wellen geht. Vielen Dank. Schade das es das Buch nicht auch in zwei Sätzen erklären kann.

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Kommentar von BatmanZer
22.08.2016, 15:29

Ah ok. Und was genau versteht man dann unter dem Ausdruck (wt - kx)?

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1) Die Wellenlösung verwendet den Wellenvektor k und die Kreisfrequenz w und bezeichnet im ersten Fall die Nullstellenzustände.

Als nächstes setzt du den Ansatz der ebenen Welle in die Klein-Gordon-Gleichung (KGG) ein und du erhällst als Bedingung w^2 = c^2 k^2 + [(m^2 c^4) / h_quer ^2] damit die ebene Welle eine Lösung für die KGG ist.

2) Das sollte eigentlich offensichtlich sein. Leite doch r mit r = Wurzel{x^2 + y^2 + z^2} nach x ab. Dann erhält du (delta r / delta x) = x/r...

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Kommentar von BatmanZer
22.08.2016, 16:50

Danke. Zur zweiten Frage, ich habe mich verrechnet gehabt. Ich habe bereits bei 1/ (2*Wurzel {x^2+y^2+z^2}) * delta r /deltax [Wurzel {x^2 + y^2 + z^2}] x + y + z geschrieben und somit konnte ich nicht mehr mit 2 kürzen. Jetzt komme ich auch auf x/r .

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Kommentar von SlowPhil
22.08.2016, 18:30

Wieso eigentlich "delta", wenn die Ableitung gemeint ist, also dr/dx?

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  Könnte es sein, dass w die Frequenz ist und k der Wellenvektor - wie üblich; wie in der Schrödingergleichung auch?

   Ich selbst hatte immer Schwierigkeiten, den Sinn hinter derDiracgleichung zu verstehen. Was sollen mir diese ganzen Alfa-ß-Gamma-und Sigmamatrizen? Wo komme die überhaupt her? Kennst du den " Ostfriesen mit de drei Winkelhaken " , der mir das erklären kann?

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Kommentar von BatmanZer
22.08.2016, 15:16

Gut möglich, das es so ist - macht auch Sinn. Die Dirac-Gleichung ist das nächste was ich mir anschauen werde, gut zu wissen, dass es NICHT besser wird ^^ . Und Danke für die Antwort.

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Kommentar von SlowPhil
22.08.2016, 15:48

Ich selbst hatte immer Schwierigkeiten, den Sinn hinter der Diracgleichung zu verstehen. Was sollen mir diese ganzen Alfa-ß-Gamma-und Sigmamatrizen?

Es handelt sich um Operatoren, und das ganz entscheidende daran ist die Idee, dass die Matrizen untereinander antivertauschen (A und B antivertauschen, wenn A·B = – B·A ist) und dadurch Mischterme entfallen, denn die Lösung muss ein Vektor von Funktionen sein, die jede für sich die Klein-Gordon-Gleichung erfüllen.

Um all die Forderungen zu erfüllen, braucht man über ℂ mindestens 4×4-Matrizen, und daher muss der Lösungsvektor 4 Komponenten haben, die aber nichts mit den 4 Raumzeitdimensionen zu tun haben. Vielmehr stehen die ersten beiden Komponenten dieses Vektors für das »Teilchen«- und die anderen beiden für das »Antiteilchen«-Feld (die lassen sich erst im Newton-Limes kleiner Energien sauber trennen), und von jedem Komponentenpaar steht jedes für eine Spinorientierung.

Da sich auf anderem Wege einfach keine Gleichung 1. Ordnung bilden lässt, kann man sagen, dass die relativistische Quantentheorie Antimaterie und den Spin vorhersagt.

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Kommentar von BatmanZer
22.08.2016, 16:55

Eine Frage noch. Was hat Phi_0 in der statischen Lösung zu suchen, wenn es doch die Amplitude der Welle bezeichnet?

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Edit:

3) Wieso kommt Phi_0 in der statischen Lösungen vor, wenn es doch vorher die Amplitude der Welle bezeichnete?

4) Ist die Konstante C einfach eine Folge der Integration oder muss sie wieder eine bestimmte Beziehung erfüllen?

Ich freue mich auf jede Antwort. Ich weiß, dass es bei einer so langen Frage eher unwahrscheinlich ist, dass sich jemand mit meinem Problem beschäftigt. Aber falls doch, vielen Dank.

P.S.: Kennt ihr vielleicht ein ähnliches Buch, also eines welches sich mit der Kosmologie/Quantenmechanik/Teilchenphysik etc. beschäftigt, das nachvollziehbar(er) geschrieben ist? Ich finde es echt schade, ich habe noch ein Buch von dem Verlag (Spezielle und Allgemeine Relativitätstheorie), welches viel leichter zu verstehen ist ( es ist aber auch fünf mal so dick ^^), wobei der Inhalt des Buches "Vom Universum zu den Elementarteilchen" auf 200 Seiten komprimiert wird. Ich habe aber schon 1/4 des Buches durch.

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Kommentar von RWenske
22.08.2016, 21:14

Am besten selbst versuchen herzuleiten. Online gibt es genügend Resourcen. Ich habe leider nicht die Aufmerksamkeitsspanne mir ein 200 Seiten Buch durchzulesen. Alternative gibt es auch kurze Papers die im Abstract die einzelne Themen auf 2 Seiten gut darstellen.

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