Kettenregel - wann liegt diese vor?

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5 Antworten

nun dann versuch ich mal mein glück beim erklären.

beispiel:

x^2 ist nichts anderes wie f(x)=x verkettet mit g(x)=x^2. nun das entspricht der verkettung g( f(x) ), denn f(x) = x, also erhalten wir g( x ) und das ist wiederum x^2, also ist h(x) die verkettung von g( f(x) ) = x^2

eine nicht-triviale verkettung liegt immer dann vor, wenn nicht x alleine vorkommt.

allerdings sind zB polynome (wie das x^2 oben) einfache verkettungen, für die es ja die bekannten ableitungsregeln gibt.

nun wenn es aber keine ableitungsregeln gibt, dann kommt man nicht um die kettenregel herum.

beispiel:

sinus(x^2) ... die regel für sinus(x) abgeleitet ist cosinus(x). allerdings stimmt das auch wirklich nur für sinus(x) aber nicht sinus(x^2),

nun musst du dir überlegen was "zuerst" ausgeführt wird. damit sinus( x^2 ) überhaupt gemacht werden kann, muss erstmal das x^2 hergenommen werden, denn ohne x^2 gibts auch kein sinus( x^2 ).

die innere funktion (die, welche zuerst ausgeführt wird) ist demnach x^2. x^2 ist selbst wieder eine verkettung, aber eben eine einfache, wofür es ohne kettenregel bereits regeln gibt.

die äußere funktion ist sinus( ... ). nun kennst du für sinus(x) die ableitung und von x^2.

nochmal zur erkärung: damit aus sinus(x) (ableitung bekannt) sinus(x^2) wird, muss man einfach das x zu x^2 machen. dies ist eine funktion, nämlich f(x) = x^2 (mache x^2 aus x).

die ableitung ist dann also cos( f(x) ) * f ' (x) (kettenregel) = cos (x^2) * 2x

was mathgeek007 angesprochen hat ist, dass alles eine verkettung ist... und auch damit hat er recht. denn auch f(x) = x ist eine verkettung.... denn f(x) = x = f (1 * x)

die kettenregel ergäbe dann f ' (1 * x) (äußere funktion) * (1 * x) ' (innere funktion) = f ' (x) * 1 = f ' (x) = 1.

wann du aber kettenregel anwenden musst beschränkt sich auf die fälle, in denen du für eine verkettung noch keine regel kennst, aber verkettung liegt immer vor.

Wow, danke, das war wirklich sehr schön erklärt.

Noch eine Frage: Wenn man z.B. die Funktionsgleichung f(x)=(4x^2 mal 5x^3)^2 hat, muss man dann die kettenregel und die Produktregel anwenden??? Oder kann ich das Ganze einfach auflösen??? also so: f(x) = 16x^4 mal 25x^6 und jetzt einfach nur die Produktregel???

Wegen dem Beispiel mit der Ableitung xon x, dass das auch eine Verkettung ist, muss ich mir nochmal anschauen, drüber schalfen und so.... Vielleicht kommt noch ne Frage innerhalb der nächsten 2 tage.....

Also, danke dir!!

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@HonigbieneMaja

da muss auch kettenregel angewendet werden.

du hast quasi die ableitung von (x)^2 , aber zuerst wird aus dem (x) durch die verkettung 4x^2 * 5x^3 gemacht.. das ist die innrere funktion.

für diese innere funktion brauchst du dann die produktregel

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@isbowhten

ja, ist kalr, nur kann man es auch auflösen, ja oder?? Dann brauch man doch nur noch die Produktregel, oder???? Bin mir grad irgenwie unsicher.....

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@HonigbieneMaja

achso. jetzt weiß ich was du meinst.

du kannst natürlich das ^2 in die klammer reinziehen und erhälst 16x^4 * 25x^6

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bei wurzel(3x) kannst du die wurzel als äußere Funktion und 3x als innere Funktion sehen (mal einfach ausgedrückt)

dann mit Kettenregel: innere Ableitung mal äußere Ableitung

also 3 * 1/(2* wurzel(3x) )

klick muss es machen bei: wurzel (...x...) und (....x)^...

und e^(...x...) bei solchen Funktionen kommt die Kettenregel dran.

Hallo!

Eigentlich liegt eine Verkettung immer vor. f(x)=x ist ebenfalls eine Verkettung, aber eine einfache. Es geht ja darum, eine vorliegende Funktion als Verkettung darzustellen, also zum Beispiel durch f(x)=h(g(x)) o. ä. Das bedeutet, dass es eine Funktion "h" gibt, die als Argument wieder eine Funktion, nämlich "g", hat.

Also zum Beispiel ist die Funktion f(x)=sin(x^2) verkettet. Warum? Es wird hier eine Funktion auf eine Funktion angewandt. Das Argument des Sinus ist wieder eine Funktion.

warum ist f(x)=x eine einfache verkettung????

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@Ellejolka

find ich nicht, hä?????

warum steht da d/dx, was bedeutet das?????

ich verstehe das überhaupt nicht... ;(

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Guck mal hier, vielleicht hilft´s dir ja:

Ja, ja, was da gesagt wird, weiß ich ja, aber warum zB auch wurzel(3x) eine Verkettung ist, versteh ich nicht, oder warum man bei 3^-x auch die Kettenregel anwenden muss versteh ich nicht. DA brauch ich hilfe.

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