Kettenlinie in Cosinus Hyperbolicus umschreiben?

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4 Antworten

  Der eindeutig schnellste Weg ist die Kurvendiskussion ; wir müssen das  Minimum ermitteln von

   f  (  x  )  :=  1/4  exp  (  x  )  +  2  exp  (  -  x  )       (  1a  )

   f  '  (  x  )  =  1/4  exp  (  x  )  -  2  exp  (  -  x  )  =  0         (  1b  )

   exp  (  2  x  )  =  8  ===>  x  (  min  )  =  3/2  ln  (  2  )      (  2  )

    Dies eingesetzt in ( 1a ) ergibt

    f  (  min  )  =  1/2  sqr  (  2  )  +  1/2  sqr  (  2  )  =  sqr  (  2  )         (  3a  )

      f  (  x  )  =  sqr  (  2  )  cosh  [  x  -  3/2  ln  (  2  )  ]             (  3b  )

 

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Du kannst z. B. eine Verschiebung in x-Richtung vornehmen: x' = x - t

Dann bestimmst du t so, dass die Vorfaktoren von e^(x-t) und e^(-(x-t)) gleich werden.

[Meine Lösung - ohne Gewähr -:    2 √(a b) cosh( x - 1/s ln(b/a) )   ]

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Setzen wir  t:= ln(2)

Dann ist   2 = e ^ t  und  (1/4) = e ^ (-2t)

Es soll also gelten:

f(x) =  e ^ (-2t) * e ^ x  +  e ^ t *  e ^ (-x)

oder   f(x) = e ^ (x-2t) +  e ^ (-x+t)  =  e ^ (-t/2) * [e ^ (x - 1.5 t) + e ^ (- x + 1.5 t)]

Diesen letzten Term kann man nun auf die Form

f(x) = c * cosh (x-u)      (mit geeigneten Werten für c und u)

bringen.

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Ich denke, dass der Ansatz mit der Gleichung   y = a * cosh(x/a)  falsch bzw. ungenügend ist. Du brauchst mindestens zwei unterschiedliche Parameter, also etwa:

    y = c * cosh(x/a)    

oder sogar etwas komplizierteres wie beispielsweise:

     y = c * cosh(x/a - u) + d

Im Detail habe ich es mir noch nicht überlegt. Es könnte sogar sein, dass es gar nicht geht ...   

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