Kennt sich einer mit der Binomialverteilung aus?

 - (Schule, Mathematik, binomialverteilung)

2 Antworten

Hallo,

bei der ersten Aufgabe geht es um die Wahrscheinlichkeit, daß zwischen 0 und 90 von 100 Pflanzen keimen, obwohl die Keimwahrscheinlichkeit bei 95 % liegt, man also bei 100 Pflanzen erwarten könnte, daß 95 Pflanzen keimen.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß genau 90 anstatt der erwarteten 95 Pflanzen keimen, würde man über eine Bernoulli-Kette berechnen.

Die Formel lautet P (k)=(n über k)*p^k*(1-p)^(n-k),

zu Deutsch, die Wahrscheinlichkeit, daß es zu k Erfolgen kommt bei einer Wahrscheinlichkeit p und einer Gesamtmenge von n, ist das Produkt aus dem Binomialkoeffizienten n über k, der Wahrscheinlichkeit von k Erfolgen und der Wahrscheinlichkeit von n-k Mißerfolgen.

n ist hier 100, k wäre 90, p=0,95

(100 über 90)*0,95^90*0,05^10=0,0167=1,67 %

Das wäre allerdings die Wahrscheinlichkeit dafür, daß von den 100 Pflanzen genau 90 keimen, nicht 91, nicht 89 und keine andere Anzahl als nur diese 90.

Hier geht es aber darum, zu berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist, daß höchstens 90 Pflanzen keimen.

Hier geht k also von 0 bis 90.

Jetzt hast Du mehrere Möglichkeiten:

Erstens: Du hast unglaublich viel Langeweile und weißt absolut nicht, was Du in den nächsten Stunden anfangen willst.

Also rechnest Du für jedes einzelne k von 0 bis 90 die Bernoullikette durch, anfangend mit (100 über 0)*0,95^0*0,05^100, (100 über 1)*0,95^1*0,05^99,

(100 über 2)*0,95^2*0,05^98, bis Du endlich bei (100 über 90)*0,95^90*0,05^10 angelangt bist.

Hoffentlich hast Du Dir dann jedes einzelne Ergebnis auch notiert, denn am Ende mußt Du alle 91 Ergebnisse addieren, um die Gesamtwahrscheinlichkeit zu ermitteln.

Methode 2: Du hast nicht ganz so viel Langeweile und bist nicht auf den Kopf gefallen.

Du überlegst: Sämtliche Wahrscheinlichkeiten für k=0 bis k=100 würden sämtliche möglichen Fälle abdecken und sich zu einer Wahrscheinlichkeit von 1 bzw. 100 % aufsummieren, denn zwischen 0 und 100 blühenden Pflanzen muß irgendetwas davon eintreffen.

Es reicht also, die Bernoulliketten von k=91 bis k=100 durchzurechnen, was nur 10 anstatt 91 sind, und in einer Viertelstunde mit dem Quatsch fertig zu sein, wenn der Taschenrechner nicht rumzickt.

Die Summe dieser 10 Ergebnisse ziehe ich zum Schluß einfach von 1 ab - oder von 100 %, wenn ich alles in Prozent umrechne - und bin fertig.

Oder: Du hast schon genug Zeit mit dem Lesen dieser Antwort verplempert und willst endlich fertig werden.

Du rufst die kumulierte Binomialverteilung auf Deinem Rechner auf, gibst n=100, k=90 und p=0,95 ein, um als Ergebnis 0,02819 (gerundet) oder 2,819 % zu bekommen.

Dann kannst Du Dich den beiden anderen Teilaufgaben widmen, die ähnlich gestrickt sind.

Viel Erfolg,

Willy

a) p = 0,95

n = 100

k <= 90 (von 0 bis 90)

b) p = 0,85

n = 100

k > 90 (von 91 bis 100)

Jeweils in die Formel einsetzen.

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