Kennt jmd. einen Beweis für die Ableitung der e-Funktion?

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3 Antworten

Die E-Funktion kann auch statt einfach nur als e^x mit einer unendlich langen Taylorreihe beschrieben werden, die Abgeleitet wieder genau die vorherige Funktion ergibt. Ich hab das im Studium machen dürfen, kann dir das aber nicht vorbeten.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=(e%5Ex)%27

Da siehst du unter dem Punkt Series expansion at x=0 die Taylorreihe am Punkt x=0.

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Kommentar von okarin
06.02.2017, 01:09

Ich versteh zwar nicht worauf du genau hinauswillst aber reicht es nicht wenn man beweist das die Definition der eulerschen Zahl hoch x gleich der taylorreihe von e^x ist? Evtl. meintest du auch genau das. xD

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Naja, die Ableitung zeigt die Steigung in einem Punkt (bzw. die Tangente in dem Punkt), und bei der e-Funktion ist es anscheinend immer gleichzeitig die Steigung. Mehr kann ich auch nicht sagen.

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Betrachte den Differenzenquotienten:

(e^(x+h) - e^x)/h = e^x *(e^h - 1)/h

mit e^h = 1 + h + h²/2 + h^3/6 + ...

--> e^h - 1 = h + h²/2 + h^3/6 + ...

Ausklammern von h:

= h*(1 + h/2 + h²/6 + ... )


Einsetzen liefert:

= e^x * (h*(1 + h/2 + h²/6 + ... ))/h

= e^x *(1 + h/2 + h²/6 + ... )

Nun kann man wenn man es nicht so "genau" machen will sagen:

1 + h/2 + h²/6 + ...  ---[h-->0]---> 1


Wenn man es etwas "genauer" machen möchte:

 e^h - 1  =  h + h²/2 + h^3/6 + ...  = h*( 1 + h/2 + h²/6 + ... )

--> (e^h - 1)/h = 1 + h/2 + h²/6 + ...   (Analog wie zuvor)

wobei   |h/2 + h²/6 + ... | <= |h|*|1/2 + h/6 + ... |

<  |h|* e     mit  0 < e < inf  

(Beschränkt auf endlichem Intervall, Stetigkeit, Monotonie)  mit h aus (-1, 1)

-->  |h/2 + h²/6 + ... | ---> 0   für h -> 0

Wir folgern:

1 + h/2 + h²/6 + ...  ---> 1   für h -> 0

Und somit folgt:

(e^h - 1)/h  ---> 1   für h -> 0

Insgesamt erhalten wir also:

(e^(x+h) - e^x)/h = e^x *(e^h - 1)/h  ---> e^x  für h -> 0

und x beliebig aber fest aus IR.


Zur Bestimmung der Reihe der Exponentialfunktion empfehle ich sich mit den Binomischen Formeln auseinander zusetzen (bzw dem Binomischen Lehrsatz):

https://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer\_Lehrsatz

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Kommentar von okarin
06.02.2017, 20:52

Ehrlichgesagt Blick ich nicht wie man mit dem bionomischen Lehrsatz die exponentialreihe herleiten soll?

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