Kennt jemand die Stammfunktion von der Funktion?

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4 Antworten

Hallo,

bei solchen Aufgaben lohnt es sich immer, erst mal eine Ableitung zu bilden und zu sehen, ob sich daraus nicht etwas machen läßt.

Der Zähler lautet 1+x², der Nenner ist die Wurzel aus 3x+x³

Wenn Du den Term unter der Wurzel ableitest, bekommst Du
3+3x²=3*(1+x²)

Das ist das Dreifache des Zählers.

Wenn Du den zu (1/3)*(3+3x²) umschreibst und das (1/3) vor das Integral ziehst, bist Du auf dem Weg zur Lösung:

(1/3)*∫ (3+3x²)/[√(3x+x³)]dx

Nun kannst Du substituieren: z=3x+x³

dz/dx=3+3x²

dx=dz/(3+3x²) und das kürzt sich weg.

(1/3)*∫1/[√z]dz=(1/3)*∫ z^(-1/2)dz=(1/3)*2*z^(1/2)=(2/3)*√z

Rücksubstitution:

F(x)=(2/3)*√(3x+x³)

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Willy1729
13.07.2017, 09:54

Ich habe das +C vergessen.

Spielt zwar bei der Flächenberechnung keine Rolle, sollte der Vollständigkeit halber (und um den Lehrer zu erfreuen) immer hinzugefügt werden.

Schließlich kann man nicht wissen, ob die Stammfunktion vor der Ableitung eine additive Konstante besaß.

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Kommentar von Willy1729
13.07.2017, 10:19

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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u=x³+3x => du/dx=3x²+3=3(x²+1) <=> dx=1/3 du/(x²+1)

Das jetzt einsetzen (die 1/3 direkt vor das Integral ziehen):
1/3 * Int[ (x²+1)/Wurzel(u) * du/(x²+1)] = 1/3 * Int(1/Wurzel(u) du)

ab hier sollte es funktionieren...

(bei solchen Aufgaben (werden ja in der Regel so konstruiert, dass man sie mit der Substitution lösen kann) wird eigentlich immer das substituiert, was abgeleitet das "übriggebliebene" ergibt, so dass dieses nach dem Einsetzen gekürzt werden kann)

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Int{ (1 + x²)/(3x + x^3) dx } =

Es fällt sofort trivialerweise auf:

3*(1 + x²) = d/dx ( 3x + x^3 )

Damit folgt :

= (1/3) * Int{ (d/dx( 3x + x^3))/(3x + x^3) dx } = 

Dieses Integral ist elementar und bekannt:

= (1/3)*ln( |3x + x^3| ) + const.   mit const. aus IR


Will man explizit die Substitutionsregel anwenden, so tue man folgendes:

u(x) = 3x + x^3  --- du/dx = 3 + 3x^2  , damit folgt:

Int{ (1 + x²)/(3x + x^3) dx } = Int{ (1 + x²)/(3 + 3x²) * 1/u du }

= (1/3) * Int{ 1/u du } = (1/3) * ln( |u| )  + const.

mit Resubstitution folgt:

= (1/3) * ln( |3x + x^3| ) + const.

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Kommentar von Willy1729
12.07.2017, 16:27

Wo hast Du denn die Wurzel im Nenner gelassen?

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(1+x^2)/(3x+x^3)

Finde g (x) und f (x) so dass

f (g (x)) * g'(x) = der Funktion
Dann ist F (g (x)) die Stammfunktion

g (x) = 3x+x^3
g'(x) = 3+3x^2

f (x) = (1/3) * (1/x)
F(x) = (1/3) * ln (x)

Stammfunktion: (1/3)*ln (3x+x^3) + C

Das prüfen auf Bedingung für die Substitutionsmethode kannst du machen (g stetig diff. und f stetig).

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Kommentar von Willy1729
12.07.2017, 16:27

Wo ist die Wurzel geblieben?

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