Kardinalität zweier unendlicher Mengen vergleichen?

4 Antworten

Meinst du |B| = |A|^2 oder |B| = 2^|A| ?

Im ersten Falle gilt (in ZFC zumindest), dass |B|=|A|, sobald A unendlich ist.
Im zweiten Falle gilt (in ZF), dass |B| > |A|, egal welcher Kardinalität A ist.

Nein, jedenfalls nicht grundsätzlich. Unendlich ist ja keine festgelegte größte und somit kannst du auch nicht sagen, unendlich² aus Aufgabe x ist größer als unendlich aus Aufgabe y. 

Du kannst du bei unendlich zwischen abzählbar und überabzählbar unendlich unterscheiden. 

Such danach einfach mal im Internet. Hier nur mal als kurze Übersicht die Wikipedia Artikel, mit denen du aber nicht versuchen solltest, das Thema komplett zu verstehen ;)

https://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlbare_Menge

https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%9Cberabz%C3%A4hlbare_Menge

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Student der praktischen Informatik & Softwareentwickler

es gibt noch feinere Unterscheidung als bloß diese 2 Kategorien.

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@kreisfoermig

Kann gut sein, mir sind aber nur die bekannt und wenn der nicht mal von abzählbar und überabzählbar gesprochen hat, wird er noch feinere Formen wohl sowieso (noch) nicht kennen müssen.

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@TechnikSpezi

ich verstehe schon. Aber diese Unterscheidung ist hier nicht, was man lernen sollte. Man sollte noch allgemeiner lernen, wie man beweist, dass zwei Kardinalitäten unterschiedlich ist, egal ob es sich bei einer um einer abzählbaren Kardinalzahl handelt. In dieser Aufgabe steht bloß „unendlich“ nicht „abzählbar unendlich“.

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Hallo MR2552,

es gibt nicht 'die Kardinalität Unendlich'; das Zeichen '∞' steht eher für das Unendliche als allgemeine Kategorie bzw. für das potential Unendliche.

Vielmehr gibt es unterschiedliche transfinite (unendliche) Kardinalitäten, deren kleinste als ℵ₀=|ℕ| oder card(ℕ) (Kardinalität der Menge der Natürlichen Zahlen) bezeichnet wird. Überraschenderweise ist „ℵ₀²“=ℵ₀ und sogar „ℵ₀ⁿ“=ℵ₀ für jedes n.

Sogar |ℚ|=ℵ₀, wobei ℚ die Menge der Rationalen Zahlen ist - obwohl es doch sogar zwischen zwei Natürlichen Zahlen und sogar zwischen zwei beliebig dicht aneinander liegenden Rationalen Zahlen unendlich viele rationale Zahlen liegen. Nicht einmal die Kardinalität der Menge aller algebraischen Zahlen, zu denen beliebige Wurzeln Rationaler Zahlen zählen, ist größer. Mengen mit der Kardinalität ℵ₀ werden abzählbar genannt.

CANTOR, der Begründer der Mengenlehre, konnte allerdings zeigen, dass |ℝ|>ℵ₀ ist. Da ℝ (Menge der Reellen Zahlen) das 'continuum' darstellt, nennt man |ℝ| auch 𝖈 genannt. Oder aber auch ℵ, aber nicht unbedingt ℵ₁, denn das ist für die nach ℵ₀ nächstgrößere Kardinalität reserviert.

Die Kontinuumshypothese besagt, dass ℵ₁=𝖈 ist.

Wie kommt man darauf?

Wenn man zwei Mengen endliche Mengen X und Y vergleichen will, kann man einfach durchzählen - oder definiert Abbildungen X→Y. Dieses Verfahren lässt sich auch auf unendliche Mengen anwenden.

Eine Abbildung ist eine Zuordnung, die jedem x∈X genau ein y∈Y zuordnet. Stellt man sich anschaulich die x als Murmeln und die y als Mulden vor, die mehrere, theoretisch alle Murmeln aufnehmen können, und verteilt alle Murmeln auf Mulden, ist das automatisch eine Abbildung, denn eine Murmel kann natürlich nur in einer Mulde liegen. Eine Abbildung heißt

  • surjektiv, wenn jedes y mindestens einem x zugeordnet ist. Im Bild: Keine Mulde bleibt leer,
  • injektiv, wenn jedes y höchstens einem x zugeordnet ist. Im Bild: Keine Mulde enthält mehr als eine Murmel, und
  • bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist, also jedes y genau einem x zugeordnet ist. Dann ist das eine 1:1-Abbildung.

Von X auf Y

  • gibt es keine surjektive Abbildung, wenn |X| < |Y| ist,
  • gibt es keine injektive Abbildung, wenn |X| > |Y| ist, und
  • gibt es bijektive Abbildungen, wenn |X| = |Y| ist.

Wie viele unendliche Kardinalitäten gibt es eigentlich?

Zwangsläufig unendlich viele, denn egal wie groß eine Menge X ist, ihre Potenzmenge ℘(X), die Menge aller Teilmengen von X, hat stets eine größere Kardinalität.

Woher ich das weiß:Recherche
unendlich hoch zwei

...gibt es nicht.

Entweder abzählbar oder überabzählbar.

Ein "dazwischen" gibt es nicht.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kontinuumshypothese

Sei k eine (unendliche) Kardinalzahl. Sei A irgendeine Menge mit |A| = k.
Dann *definiert* man

k^2 := |A x A|

In ZFC gilt: ist A unendlich, so gilt AxA ist bijektiv äquivalent zu A, sodass k^2 = k.

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Wie das Wort „Hypothese“ schon sagt, ist es keinesfalls ausgemacht, dass es kein „Dazwischen“ gibt.

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