Kann mir jmd helfen(Matherätsel mit Gleichungsystem)?

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3 Antworten

Insgesamt fahren sie zusammen 960km.

Jeder fährt die gleiche Strecke, also 960/4 = 240km.

a, b, c und d stellen dar, wie lange (in Minuten) Anna, Beate, Christine und Daniela jeweils für ihren Streckenabschnitt benötigen.

Mit den gegebenen Informationen können wir nun einige Gleichungen aufstellen:

Beate benötigt für seinen Streckenanteil 20 Minuten weniger als Anna.

b = a + 20

Christine benötigt 20 Minuten weniger als Beate.

c = b + 20

Daniela benötigt sogar noch 20 Minuten weniger als Christine

d = c + 20

 Daniela [...] indem sie pro Stunde 4/3 derjenigen Strecke zurücklegt, die Beate in dieser Zeit fährt. 

Das ist ein bisschen schwieriger, aber eigentlich auch nicht dramatisch.

Daniela fährt schneller als Beate, nämlich so schnell, dass sie 4/3 Kilometer gefahren ist, während Beate erst Kilometer zurückgelegt hat.

Das bedeutet, dass Daniela 4/3-Mal so schnell ist wie Beate.

Also: d = 4/3 * b

Und damit haben wir vier Gleichungen mit vier Unbekannten:

I.    b = a + 20
II.   c = b + 20
III.  d = c + 20
IV.  d = 4/3 * b

Wenn wir dieses Gleichungssystem lösen, erhalten wir:

a = 100 [min], b = 120 [min], c = 140 [min], d = 160 [min]

Wir rechnen das noch schnell in Stunden um, damit wir es später leichter mit der Umrechnung in km/h haben:

a = 10/6 [h], b = 2 [h], c = 14/6 [h], d = 16/6 [h]

Jetzt können wir daraus herleiten:

Anna benötigt für ihre 240 km genau 10/6 h:
 v = 240/(10/6) km/h = 144 km/h
Beate benötigt für ihre 240 km genau 2 h:  v = 240/2 km/h = 120 km/h
Christine benötigt für ihre 240 km genau 14/6 h:  v = 240/(14/6) km/h = 720/7 km/h
Christine benötigt für ihre 240 km genau 16/6 h→ v = 240/(16/6) km/h = 90 km/h

Wir haben also vier Durchschnittsgeschwindigkeiten, von der wir wiederum die gesamte Durchschnittsgeschwindigkeit errechnen können:

         (144 + 120 + 720/7 + 90) km/h         1599
v = ———————— = —— 114,21 km/h                                 4                                   14 

Die Durchschnittsgeschwindigkeit liegt also bei etwa 114,21 km/h.

LG Willibergi

kreisfoermig 25.02.2017, 14:17

Folgende Fehler:

1. du hast A fährt 20min weniger als B mit A=B+20 statt A=B–20 erfasst.
2. (kein Fehler aber eine evtl. unschöne Interpretation) du berechnest den Schnitt, indem du jede 240km-Strecke gleich gewichtest. Ich glaube man muss jede Zeiteinheit gleich gewichten, so dass man den Schnitt der erlebten Geschwindigkeit bekommt.

Nach diesen Änderungen erhält man v = 192 km/h.

(Dass 192 km/h eine „schöne“ ganze Zahl ist, gilt als psychologische Bestätigung für diese Antwort gegenüber 114,21 km/h.)

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HERLEITUNG.

Bezeichne mit δt[i], δs[i] und v[i] die Dauer, Strecke und Geschwindigkeit für Person i ∈ {a,b,c,d}. Es gilt v[i]=δs[i]/δt[i] und δs[i]=δs[j] für alle i,j, sodass δs[i]=960/4=240km=:δs.

Messe Zeit in Minuten und Strecke in km.

δt[b] = δt[a]–20
δt[c] = δt[b]–20 = δt[a]–40
δt[d] = δt[c]–20 = δt[a]–60

Daniela benötigt sogar noch 20 Minuten weniger als Christine, indem sie pro Stunde 4/3 derjenigen Strecke zurücklegt, die Beate in dieser Zeit fährt

Dieser Satz lässt sich zweideutig interpretieren. Worauf bezieht sich diese(r) Zeit? Von der Grammatik her entweder 1 Stunde oder die Zeit, die Daniela benötigt.

INTERPRETATION: „Diese Zeit“ = 1 Stunde.
Dann liefert die Erklärung die Gleichung:
v[d]·60min = (4/3)·v[b]·60min;

Es folgt  v[d] = (4/3)·v[b].

Also δs[d]/δt[d] = (4/3)·δs[b]/δt[b];
also 4·δt[d] = 3·δt[b] da δs[d]=δs[b];
also 4·(δt[a]–20) = 3·(δt[a]–60);
also δt[a] = -100 min.

Das geht gar nicht! Also muss diese Interpretation falsch liegen.
Es bleibt nur übrig die Interpretation:

INTERPRETATION: „Diese Zeit“ = Die Zeit die Daniel benötigt.
Dann liefert die Erklärung die Gleichung:
v[d]·60min = (4/3)·v[b]·δt[b] = (4/3)·δs[d] = (4/3)·240 = 320km;

Es folgt: v[d] = 16/3 km/min.

Daraus ergibt sich δs[d]/δt[d] = 16/3, sodass  δt[d] = δs[d]/(16/3) = 240/(16/3) = 45 min.

Das ist viel besser!

Folglich erhält man die Zeiten:
also δt[a]–60 = 45 min, sodass δt[a] = 105 min.
δt[b] = 105 - 20 = 85 min;
δt[c] = 105 - 40 = 65 min.

Man erhält also die Geschwindigkeiten:
v[a] = δs[a]/δt[a] = 240km/105min ≈ 137,14 km/h;
v[b] = δs[b]/δt[b] = 240km/85min ≈ 169,41 km/h;
v[c] = δs[c]/δt[c] = 240km/65min ≈ 221,54 km/h;
v[d] = δs[d]/δt[d] = 240km/45min ≈ 320 km/h;

Durchschnittliche Geschwindigkeiten:

Es gibt nun hier zwei natürliche Möglichkeiten.
1. Werte gewichtet bzgl. Strecke:
v = ∑ (δs[i]/960km)·v[i] = ∑ (1/4)·v[i] = 1/4·(137,14+169,41+221,54+320) = 212,02 km/h.
2. Werte gewichtet bzgl. Zeit:
Gesamtzeit = ∑δt[i] = 105+85+65+45 = 300 min = 5h;
v = ∑ (δt[i]/5h)·v[i] = ∑ δs[i]/5h = 960km / 5h = 192km/h.

Ich glaube, dass gemeint ist, Durschnitt bzgl. Zeit.—das ist schließlich die Geschwindikeit, den man als Mitfahrender im Schnitt erlebt.

Dann ist 192km/h die im Schnitt gefahrene Geschwindigkeit.

2
kreisfoermig 25.02.2017, 14:36
@kreisfoermig

Jetzt ist mir ein Fehler unterlaufen! Am Anfang der zweiten Interpretation des Satzes müsste die Gleichung lauten:

v[d]·60min = (4/3)·v[b]·δt[d] nicht δt[b]

Es folgt eine nicht so einfache Umformung dieser Gleichung, um die Zeit δt[d] bestimmen zu können:

v[d]·60min = (4/3)·v[b]·δt[d]
⟺ δs[d]/δt[d]·60 = (4/3)·δs[b]/δt[b]·δt[d]
⟺ 45/δt[d] = δt[d]/δt[b]
⟺ 45·δt[b] = δt[d]^2
⟺ 45·(δt[d]+40) = δt[d]^2
⟺ 0 = δt[d]^2–45·δt[d]–1800
⟺ δt[d] = [45±√(45^2+4*1800)]/2
⟺ δt[d] = [45+√(45^2+4*1800)]/2,
da die - Option zu einer negativen Zeit führt
⟺ δt[d] = 70,52 min

Dann erhält man
δt[c] = δt[d]+20 = 90,52 min;
δt[b] = δt[c]+20 = 110,52 min;
δt[a] = δt[b]+20 = 130,52 min.

Gesamtzeit = ∑δt[i] = 70,52+90,52+110,52+130,52 = 402,09 min = 6,70h.
Durchschnittsgeschwindigkeit = 960/6,70 = 143,2502 km/h.

Die Form der Antwort ist jetzt in psychologischer Hinsicht nicht so schön. Dennoch scheint mir die Mathematik richtig zu sein… mal sehen.

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dsssss 27.02.2017, 16:17
@kreisfoermig

Ersteinmal vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Jedoch wirft diese bei mir eine Frage auf...

Daniela hat nach deiner Gleichung eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 70,52 m/min, wenn man dies in km/h umwandelt, kommt 4,2312 raus. D

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dsssss 27.02.2017, 16:23
@dsssss

Dies deckt sich jedoch nicht mit deiner errechneten Durchschnittsgeschwindigkeit von 143,2502 km/h. Da Daniela ja am schnellsten fährt...


Vielleicht könntest du mir ja den letzten Schritt bei deiner Gleichung genauer erläutern....


LG dsssss

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fang doch mal damit an: wieviele kilometer fährt denn jeder? wieso ist das wichtig zu wissen? und was musst du dann noch herausfinden, um die km/h zu berechnen?

dsssss 25.02.2017, 13:08

Also jede fährt 240 km, aber wie soll ich dann weiter vorgehen...

Weil wie soll ich es mathematisch begründen wenn ich so gut wie jede Zahl ausprobieren kann, damit Daniela 4/3 derjenigen Strecke die Beate in der selben Zeit fährt zurücklegt... 

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Das mit dem gegeben und gesucht glaube ich
Bin kein Mathe Genie^^

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