Kann mir jmd 2^(2x) + 2^x = y nach x auflösen mit Rechenweg?

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3 Antworten

y = 2^(2x) + 2^x        | 5. Potenzgesetz
y = (2^x)²  + 2^x        | substituieren mit u = 2^x nur zum schnelleren Rechnen
y = u² + u                 | alles nach links
u² + u - y = 0            | p,q-Formel           p = 1        q = -y

u         = -1/2 ±√(1/4+y)            | erweitern und umformen
u         = -1/2 ±√((1 + 4y)/4)      | Resubstitution
2^x      = -1/2  ±(√(1 + 4y))/2      | logarithmieren, rechts 1/2 ausklammern
ln 2^x   = ln (-1/2 *(1 ±√(1 + 4y)))                | 3. Log-Gesetz
x * ln 2 = ln (1/2 *(-1 ±√(1 + 4y)))                | /(ln 2)
       x  = (ln (1/2 *(-1 ±√(1 + 4y)))) / (ln 2)

Für die echte Umkehrfunktion noch x und y vertauschen!

Statt ln wäre auch lb möglich, der Log zur Basis 2. Da lb 2 = 1 ist, hätten wir dann, Nenner fällt weg:
      x  = lb (1/2 *(-1 ±√(1 + 4y)))
Da kann man auch gleich noch 2 Klammern einsparen ...
lb kann aber nicht jeder Taschenrechner.
Ich habe dreimal verglichen. Ich hoffe, ich habe mich nun nicht doch vertippt.
Aber bei existierender Vorlage kannst du ja mit Verständnis mitlesen.

Das war's mit Rechenweg!

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Kommentar von Volens
27.01.2016, 23:38

Wenn ich mal überlege, wie schnell ich bei manchen anderen Themen mühelos 15 Punkte zusammengekliert habe, sollte ich bei Mathe auswandern.
:-)

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Du schreibst 2^(2x) als (2^x)^2, substituierst 2^x und benutzt dann die PQ-Formel.

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Kommentar von eonline
27.01.2016, 21:22

also x = lb(- (1/2) + sqrt( (1/4) + y ) ? 

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steht da eine 0 hinter dem Gleichheitszeichen?

oder wie heißt die Aufgabe?

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Kommentar von eonline
27.01.2016, 21:23

nein umkehrfunktion

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