Kann mir jemand sagen, wie ich dieses Integral zu integrieren habe.?

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4 Antworten

Hallo,

der Trick ist, das Ding so umzuformen, daß Du mehrere Grundintegrale bekommst.

Der Nenner x²-9 läßt sich nach der dritten binomischen Formel in
(x+3)*(x-3) umwandeln.

Der Zähler x+8 läßt sich als (x+3)+5 schreiben.

So bekommst Du den Bruch [(x+3)+5]/[(x+3)*(x-3)], den Du erst einmal in
(x+3)/[(x+3)*(x-3)]+5/[(x+3)*(x-3)] aufteilen kannst.

Beim ersten Summanden kannst Du (x+3) kürzen, dann bleibt 1/(x-3) übrig, was integriert ln|x-3| ergibt.

Beim zweiten Summanden 5/[(x+3)*(x-3)] kannst Du die Partialbruchzerlegung anwenden.

Du teilst den Bruch in A/(x+3)+B/(x-3) auf, bringst beides wieder auf den Hauptnenner (x+3)*(x-3) und vergleichst im Zähler anschließend die Koeffizienten:

[A(x-3)+B(x+3)]/HN (Hauptnenner)=5/HN

Dann muß gelten: A(x-3)+B*(x+3)=0x+5

Ax-3A+Bx+3B=0x+5

x(A+B)-3A+3B=0x+5

Also: A+B=0

A=-B

-3A+3B=5

3B+3B=5

6B=5

B=5/6

A=-5/6

So bekommst Du den Bruch (5/6)*1/(x+3)-(5/6)*1/(x-3), der nun leicht zu integrieren ist.

5/6 bleibt jeweils als Faktor erhalten.

Integriert wird das dann zu (5/6)*ln|x-3|-(5/6)*ln|x+3|

Zusammen mit ln|x-3| bekommst Du (11/6)*ln|x-3|-(5/6)*ln|x+3|+C als Stammfunktion.

Herzliche Grüße,

Willy


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Kommentar von niewiedertipico
01.07.2016, 22:05

Wow, super vielen Dank für die so ausführliche Antwort. Ich hab es jetzt verstanden, wie ich solche Art von Aufgaben zu rechnen habe.

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Kommentar von Willy1729
04.07.2016, 19:46

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Man könnte es leicht mit der Kettenregel integrieren. Dabei klammerst du sowohl Zähler als auch Nenner ein und formst den Bruch in die Schreibweise "(Zähler)*(Nenner)^(-1)" um. Dann musst du nur noch ganz einfach die Kettenregel anwenden (Äußere Ableitung mal innere Ableitung!).
Diese Differentiations-/Integrationsregel solltest du eigentlich schon kennen...

Lg Traumbewahrer

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Kommentar von Rhenane
01.07.2016, 19:22

Und dann kommt, schwupp-di-wupp, F(x)=-(5(ln|x+3|)-11ln(|x-3|))/6 +C raus...........
Den Lösungsweg hätte ich mir bei dem Ergebnis irgendwie schwerer vorgestellt!

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Kommentar von Volens
01.07.2016, 19:24

Leicht?

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Kommentar von Traumbewahrer
01.07.2016, 19:25

Also heißt das, dass die Kettenregel hier nicht anzuwenden ist?

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Musst du das wirklich händisch integrieren? Das ist ja ein Gewaltritt.

(x+8)/(x²−9) dx = 11/6 log(3-x) - 5/6 log(x+3) + C

Habe ich rechnen lassen. Da muss soviel herumsubstituiert werden, dass es nicht mehr spaßig ist.

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