kann mir jemand sagen wann zwei gleichungen eines gleichungsystems genau zwei lösungen haben?

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5 Antworten

Bei einem linearen Gleichungssystem gibt's das NICHT; da gibt's nur diese 3 Möglichkeiten: Keine Lösung, genau 1 Lösung, unendlich viele Lösungen.

Graphisch veranschaulichen kann man sich das, wen man die beiden Geraden eines lineares Gleichungssystems betrachtet.
2 Geraden haben entweder keinen oder genau 1 oder unendlich viele gemeinsame Punkte.

Um genau 2 Lösungen zu bekommen, kann es also KEIN lineares Gleichungssystem sein, sondern mindestens eine der beiden Gleichungen darf NICHT linear sein! Das kann z.B. eine quadratische Gleichung sein oder noch einen höheren Grad.
Dann sind 2 gemeinsame Punkte der beiden Graphen möglich.
Einfaches Bsp: 2 Gleichungen:
(1) y=x   (2) y=x²
1 Gerade und 1 Parabel, die genau 2 gemeinsame Punkte haben.

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  • Ident: 3x+5y=10

              6x+10y=20

              Koeffizenten und Ergebnis gleich (Vielfaches),                         (=unendlich viele Schnittpunkt)


  • Parallel: 3y+5y=10

                   6x+10y=21


            Koeffizenten gleich(Vielfaches), Ergebnis                                 unterschiedlich (kein Vielfaches) = kein Schnittpunkte
  • Schneidend: 3x+5y=10
                          7x+12y=4

           Koeffizenten und Ergebnis unterschiedlich (kein                      Vielfaches) =  genau ein Schnittpunkt  

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Kommt ganz darauf an, welche Arten von Gleichungen in dem Gleichungssystem zugelassen werden sein sollen. Falls beide Gleichungen ilineare Gleichungen mit zwei Unbekannten sein sollen, dann gibt es den Fall mit genau zwei Lösungen gar nicht !

Dagegen hat das System   

y = x^2

y = x + 2

genau 2 Lösungspaare.

Da ist aber die erste Gleichung nicht linear, sondern quadratisch.

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Wenn sie zwei Schnittpunkte haben. Stell dir eine Parabel vor, die von einer Gerade zwei mal geschnitten wird.

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Bei einer Sekante, so wie es mein Vorredner sagte oder wenn du bei einer NST ( Nullstelle ) die Wurzel ziehst. so ist das Negative und Positive ergebnis einer Wurzel zu beachten.

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