Kann mir jemand folgenden Beweis führen?

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4 Antworten

Verifizieren kannst du dies schon per Induktion. Damit hast du das Ergebnis der Summe nicht abgeleitet. Mit Induktion kann man im Allgemeinen aber so gut wie gar nichts herleiten, welches die richtige Arbeit eines Mathematikers ist. Somit ist Induktion ein ziemlich hohler Ansatz.

Zum Herleiten (was sowohl mehr mathematischen Inhalt als auch unmittelbar einen Beweis enthält) gibt es z. B. folgenden 2 Ansätze:

Ich beweise stattdessen, dass die Summe von 0 bis n–1 gleich (n²–n)/2 ist. Aus diesem Ausdruck kriegst du deine Summe sehr locker.

HERLEITUNGSANSATZ 1.
Beachte dass ∆n = (n+1) – n = 1 und ∆n² = (n+1)²–n² = 2n+1. Folglich nach geschicktes Kombinieren ½(∆n² – ∆n) = n. Darum gilt:

∑ i über i von i = 0 bis n-1
= ∑ ½(∆i² – ∆i) über i von i = 0 bis n–1
= ½(∑ ∆i² – ∑ ∆i) per Linearität
= ½((n²–0²) – (n–0)) wegen der Teleskopsummen
= (n² – n)/2

HERLEITUNGSANSATZ 2.
Anstelle des Rumprobierens oben, können wir etwas systematischer mehr Identitäten liefern, die uns helfen werden, weitere Summen zu berechnen. Beachte, dass (n²–n)/2 = n(n–1)/2 = (n über 2). Es scheint also sinnvoll, kombinatorische Ausdrücke zu untersuchen. Wir kennen aus der Kombinatorik folgende Identität:

(n+1 über k+1) = (n über k+1) + (n über k)

woraus sich ∆(n über k+1) = (n über k) ergibt. Insbesondere haben wir ∆(n über 2) = (n über 1) = n. Folglich gilt:

∑ i über i von i = 0 bis n-1
= ∑ (i über 1) über i von i = 0 bis n-1
= ∑ ∆(i über 2) über i von i = 0 bis n-1
= (n über 2) – (0 über 2) wegen der Teleskopsumme
= n(n–1)/2 – 0 = (n²–n)/2.

So kannst du, statt Konsument zu sein, und Dinge per Induktion bloß verifizieren, diese tatsächlich mathematisch herleiten.

Ich finde besser: n² + n  = n (n + 1)

Vollständige Induktion

                         n
Annahme:          ∑ i = (n(n + 1)) / 2
                         1

Dann wäre        n+1
                        ∑ i = [ (n(n + 1)) / 2 ]   + (n + 1)       |  Hauptnenner 2
                         1

                             = [(n (n + 1) + 2 (n + 1)] / 2        | ausklammern (n+1)
                             = ((n + 1) * (n + 2)) / 2

q.e.d.

Anfang machst selbst, Schritt

((n + 1)¹ + n + 1) / 2
(n² + 2n + 1 + n + 1) / 2
(n² + 3n + 2) / 2
(n² + n) / 2 + n + 1

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