Kann mir jemand erklären, wie man von x^2-2/3x-1/3 auf (x-1)(x+1/3) kommt?

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3 Antworten

Faktorisierung des Terms.

Dazu benötigt man die Nullstellen des Terms.

Wenn x1 und x2 die Nullstellen einer quadratischen Funktion sind, ist

f(x) = a x^2 + b x + c = (x - x1) * (x - x2)

Wie du die Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen kannst, solltest du wissen.

Wenn die Funktion nur eine einzige Nullstelle hat, ist

f(x) = (x - x1) * (x - x1)

Man spricht dann auch von einer "doppelten Nullstelle" - der zugehörige Faktor tritt in der Faktorisierung doppelt auf.

(Diese Faktorisierung gilt übrigens für alle Polynome. Hier können natürlich auch Nullstellen höherer Ordnung auftreten.)

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Kommentar von EtBap
22.03.2016, 11:38

Klasse, vielen Dank.

Aber wie kommt man mit der Regel von x^4 - 2x^2 - 8

auf

(x-2)*(x+2)*(x^2+2)??

Die letzte Klammer irritiert mich total!

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Schreibt sich das so?

x² - (2/3) x  - 1/3           p = -2/3         q = -1/3

x₁,₂ = 1/3 ±√(1/9 + 3/9)
x₁,₂ = 1/3 ± 2/3

x₁   =  1
x₂   = -1/3

Ihr müsst schon mal was von Linearfaktoren gehört haben, um zu wissen, dass quadratische Gleichungen in diese zwei zerfallen:
f(x) = (x - x₁) (x - x₂)

Daher ist    x² - (2/3) x  - 1/3 = (x - 1) * (x + (1/3))
Die Vorzeichen der Lösungen sind dabei umzudrehen!

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Wenn du es von rechts nach links rechnest, kommt es durch Ausmultiplizieren ganz von alleine heraus. Da wir keinen Scheitelpunkt ausrechnen wollen, brauchen wir auch keine quadratische Ergänzung. Multiplizieren reicht.

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(x-1)(x+1/3)

Du nimmst die linke mal die rechte Klammer, also x*x und x* 1/3, dann -1*x und -1* 1/3. Dann steht da.

x^2 (weil x*x = x^2) +1/3x (weil x*1/3) -1x (-1*x) -1/3

Dann zusammenrechnen (alle normalen Zahlen und zahlen mit X)

1/3x - 1x = -2/3

das ergibt dann x^2- 2/3x -1/3


Zugegeben bisschen umständlich geschrieben, aber hab Ferien :D aber ist schon richtig so :D





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Kommentar von EtBap
18.03.2016, 18:15

Ich möchte in die andere Richtung, so wie es in der Frage steht. Also nicht die Klammern auflösen, sonder in sie umformen.

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