Kann mir jemand diese Umformung erklären?

Also ich denke mir, jeder Summand müsste mit (sich selbst/sich selbst) erweitert werden, dann kriegt man zwar die Wurzeln oben im Zähler weg, aber im Nenner stehen sie und man kann die Brüche auch nicht voneinander subtrahieren, weil die Nenner eben unterschiedlich sind.

Wie also funktioniert das dann?

Answer 1

[mihisu]

Der Term wurde entsprechend der dritten binomischen Formel so zu einem Bruch erweitert, dass im Zähler des Bruches die Wurzeln wegfallen.

Allgemein für beliebige positive Zahlen a, b...

$\sqrt{a}-\sqrt{b}\overset{[1]}{=}\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\cdot \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\overset{[2]}{=}\frac{\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\overset{[3]}{=}\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

[1] Hier wurde mit √(a) + √(b) zu einem Bruch erweitert. Beachte dabei das andere Rechenzeichen „+“ statt „-“ zwischen √(a) und √(b).

[2] Die dritte binomische Formel wurde vewendet.

[3] Die Quadratwurzel hebt sich mit dem Quadrat gegenseitig auf.

Im konkreten Fall mit a = 2 + 3x₁ und b = 2 + 3x₂...

$\sqrt{2+3x_1}-\sqrt{2+3x_2}$

$\overset{[1]}{=}\frac{\left(\sqrt{2+3x_1}-\sqrt{2+3x_2}\right)\cdot\left(\sqrt{2+3x_1}+\sqrt{2+3x_2}\right)}{\sqrt{2+3x_1}+\sqrt{2+3x_2}}$

$\overset{[2]}{=}\frac{\sqrt{2+3x_1}^2-\sqrt{2+3x_2}^2}{\sqrt{2+3x_1}+\sqrt{2+3x_2}}$

$\overset{[3]}{=}\frac{2+3x_1-\left(2+3x_2\right)}{\sqrt{2+3x_1}+\sqrt{2+3x_2}}$

$=\frac{2+3x_1-2-3x_2}{\sqrt{2+3x_1}+\sqrt{2+3x_2}}$

$=\frac{3x_1-3x_2}{\sqrt{2+3x_1}+\sqrt{2+3x_2}}$

$=\frac{3\cdot\left(x_1-x_2\right)}{\sqrt{2+3x_1}+\sqrt{2+3x_2}}$

Answer 2

[Halbrecht]

alles offen zu sehen
links steht | a - b | = |a - b| / 1

dieser Bruch wird mit (a+b) erweitert , was nun der Nenner ist
Im Zähler entsteht a² - b² = (2+3x1) - (2+3x2) = 2 - 2 + 3*(x1-x2)

Answer 3

[gogogo]

Habe es nur überflogen => nicht nachgerechnet.

Erweitere mal die linke Seite mit dem Nenner der rechten Seite.

Also den rechten Nenner links als Faktor für Zähler und Nemmer (1) nehmen.