Kann mir jemand diese Quadratische gleichung lösen?

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8 Antworten

4 * x ^ 2 = -81 + 36 * x

Es gibt noch die Mitternachtsformel, aber die ist kein bisschen einfacher als die pq-Formel.

Erst mal stellst du die Gleichung auf die Form a * x ^ 2 + p * x + q = 0 um

4 * x ^ 2 = - 81 + 36 * x | -36 * x

4 * x ^ 2 - 36 * x = - 81 | + 81

4 * x ^ 2 - 36 * x + 81 = 0

Das ist aber immer noch nicht die Form die wir haben wollen, wir wollen eine Form haben die so aussieht --> x ^ 2 + p * x + q = 0, also ohne Faktor vor dem x ^ 2. Deshalb teilen wir deine Gleichung jetzt noch durch 4

4 * x ^ 2 - 36 * x + 81 = 0 | : 4

x ^ 2 - 9 * x  + (81 / 4) = 0

Jetzt kann man mit der pq-Formel arbeiten, die lautet -->

x _ 1, 2 = - (p / 2) - / + √( (p / 2) ^ 2 - q )

Jetzt listest du fein säuberlich auf, was was ist -->

p = -9

(p / 2) = (- 9 / 2)

(p / 2) ^ 2 = (- 9 / 2) * (- 9 / 2) = 81 / 4

q = (81 / 4)

x _ 1, 2 = - (- 9 / 2) - / +  ( 81 / 4 - 81 / 4)

x _ 1, 2 =  (9 / 2) - / + 0

x _ 1 = 9 / 2

x _ 2 = 9 / 2

Das ist eine sogenannte doppelte Nullstelle, weil x _ 1 und x_ 2 identisch sind.

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Also entweder du machst das mit der p-q-Formel wie es unten schon beschrieben wurde, oder du machst es noch viel einfacher:

Wie du sehen kannst kannst du erst mal alles auf die linke Seite der Gleichung packen, damit du rechts 0 stehen hast.
Somit hast du 4x² + 81 - 36x = 0
Jetzt noch eben die Summanden passend anordnen und unsere Gleichung lautet 4x² - 36x + 81 = 0
Jetzt normieren wir die Gleichung, soll heißen wir sorgen dafür, dass wir nicht mehr 4x² sondern nur noch 1x² haben. Das machen wir, indem wir einfach durch 4 teilen.
Wenn wir das tun, müssen wir JEDEN EINZELNEN SUMMANDEN durch 4 teilen.
4x² / 4 = 1x² = x²
-36x / 4 = -9x
81/4 = 20,25
Also ist unsere Gleichung nichts anderes als x² - 9x + 20,25 = 0
Und jetzt kommt die ZWEITE binomische Formel ins Spiel (da wir nicht +9x sondern -9x haben).
a² - 2ab + b² = (a-b)²
Jetzt müssen wir uns nur noch überlegen, was unser a und was unser b ist.
a = x da das der erste quadratische Summand ist, weswegen a² = x² ist.
Jetzt nehmen wir uns 2ab zur Brust:
-9x = 2ab
Was a ist ja x und somit ist -9x = 2xb
Jetzt können wir beide Seiten durch x teilen (ich versichere dir, dass das geht, da x am Ende nicht 0 sein wird) und somit ist -9 = 2b weswegen b = -4,5 ist.
Jetzt haben wir ja noch zu guter letzt b².
Der letzte Summand in unserer Gleichung ist ja 20,25.
Jetzt ist die Frage: ist das wirklich das Gleiche wie b²?
b² = (-4,5)² = 20,25. Ja es passt.
a = x
b = (-4,5)
Und somit ist unsere Gleichung nichts anderes als (x - 4,5)² = 0
Jetzt ziehen wir nur noch auf beiden Seiten die Wurzel.
Das Wurzelziehen sorgt normalerweise dafür, dass man ZWEI Lösungen erhält.
Ein Beispiel: Wurzel(25) = 5 oder (-5). 5² = 25 und (-5)² = 25.
Wenn wir jetzt bei unserer Gleichung die Wurzel ziehen, dann erhalten wir Wurzel((x - 4,5)²) = Wurzel(0)
Links haben wir ja jetzt die Wurzel aus einem quadratischen Ausdruck gezogen. Wurzel ziehen und quadrieren sind allerdings genau gegenteilig, weswegen sie sich gegenseitig aufheben.
(Wurzel(25) = Wurzel(5²) = 5 (oder (-5) wie ich ja vor ein paar zeilen noch geschrieben hab.)
Somit haben wir links nichts anderes stehen als x - 4,5
Rechts haben wir ja noch Wurzel(0), was ja das gleiche ist wie +0 oder -0.
Aber +0 = -0, weswegen Wurzel(0) = 0 ist.
Also ist x - 4,5 = 0 und x = 4,5.
Somit kannst du sehen, dass es nur eine Nullstelle bei x = 4,5 gibt.
Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)
JTR

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wenn die pq-Formel dir nicht passt, dann probier' doch herum. Besonders schnell geht's, wenn du für x = - 9/2 einsetzt.

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Ich bin Achtklässler, hatte Wurzelberechnung noch nicht in der Schule und empfehle dir, dass du dir einfach mal überlegen solltest, was das Gegenteil von hoch2 ist und das dann nach dem üblichen Prinzip auf beiden Seiten anwenden und danach dann halt das normale restliche Prozedere. 

Benötigt wird nur ein gewisses Maß an Intelligenz.

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Rubezahl2000 27.10.2015, 20:54

Genau, ein gewisses Maß an Intelligenz hilft ;-)
Aber auf beiden Seiten der Gleichung Wurzel Ziehen, das hilft bei einer quadratischen Gleichung überhaupt NICHT :-(

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Marc8chick 27.10.2015, 21:43
@Rubezahl2000

Uuuuuuups Überschätzung eigener Intelligenz in höchstem Stadium tut mor Leid.

Ich sollte mich ab sofort an die Regel erst wissen, dann andere als dumm bezeichnen halten sorry

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es gibt noch die quadratische Ergänzung aber die ist schwerer als die pq-Formel.

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Hallo, hier ist die Lösung, wenn du noch weitere Fragen hast, dann kannst du dich gerne an mich wenden. 
LG JRHxd

PQ-Formel - (Mathe, Mathematik, Gleichungen)
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Hattet ihr schon quadratische Ergänzung? Wenn ja dann wahrscheinlich damit.

4x²=-81+36x | -36x 

4x^2-36x = -81 | :4

x^2-9x = -20,25 | quadratische Ergänzung

x^2-9x+(9/2)^2=-20,25+(9/2)^2

-> x^2-9x+20,25=0 | 2. bin. Formel

(x-4,5)^2 = 0 | √

x-4,5 = 0 |+4,5

x = 4,5

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du könntest in den bereits auf gutefrage.net vorhandenen fragen suchen, das haben wir vor ein paar tagen erst behandelt!!!!!

x1/2 = 4,5 / -4,5

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