Kann mir jemand diese mathematische Abkürzung erklären?

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4 Antworten

Hallo,

spielen wir es mal für die 3. Ableitung, also f'''(x) durch.

Der rechte Teil ist klar: (1+x)^(-5/2). 

Der linke Teil gibt an, welcher Faktor vor diesen Term gehört.

Für n=3 multiplizierst Du (0,5-j) für j=0 bis j=2 durch:

(1/2)*(-1/2)*(-3/2) also [(1/2)-0]*[(1/2)-1]*[(1/2)-2]=3/8.

Tatsächlich ist die dritte Ableitung von (1+x)^(1/2)=(3/8)*(1+x)^(-5/2), was Du leicht nachprüfen kannst, indem Du die Ableitungen auf die herkömmliche Art bildest. Du mußt nur darauf achten, daß Du jeweils bis zu der Zahl für j gehst, die um 1 niedriger als die Zahl ist, die Du für n einsetzt.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Mukleur
28.08.2016, 17:37

jetzt habe ich es kapiert, ich danke dir vielmals Willy

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Ich weiß nicht, ob es Taschenrechner gibt, die das Taylor-Polynom zum Wurzelziehen ausnutzen. Normalerweise wird die Wurzel über das Heron-Verfahren bestimmt, ein iteratives Verfahren, das sehr schnell konvergiert.

Aber egal, es geht um eine Darstellung der n-ten Ableitung von f(x)=sqrt(1+x)


Wir finden:

f'(x)= 1/2 * (1+x)^(-1/2)

f''(x) = -(1/4) * (1+x)^(-3/2)

f'''(x) = -(1/4)*(-3/2)* (1+x)^(-5/2)

usw

Das Schema ist klar: Die Exponenten kommen jeweils vorne als Faktor davor mit jeder weiteren Ableitung und der Exponent verringert sich um eins.


Das drückt genau das Produktzeichen aus.

Für n=1 ist der Faktor 1/2, denn das Produkt läuft von j=0 bis n-1=0, also kommt nur der Faktor für j=0 vor, dieser ist 1/2

Für n=2 läuft das Produkt über j=0 und j=1, das ergibt 1/2* -1/2 = -1/4

Für j=2 kommt der Faktor 1/2-3=-3/2 dazu usw.

Genauso die Exponenten. Man kann sie schreiben als -u/2, wobei u alle ungeraden Zahlen durchläuft, das heißt u=2n-1

So kommt man zu dieser Darstellung.

Du kannst sie per vollständiger Induktion beweisen, indem du 1.)

den Ausdruck für n=1 einsetzt und überprüfst --> haben wir oben gemacht


Und 2.) Den Produktausdruck ableitest und zeigst, dass dabei die Form für n+1 wieder herauskommt..






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Das Produktzeichen musst du analog zu Sigma bei Reihen sehen, nur das hier die einzelnen Elemente nicht addiert sondern multipliziert werden.

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Kommentar von Mukleur
26.08.2016, 22:05

Laut dieser Definition hätte ich bei der ersten Ableitung 1/2-1 und das sind -1/2

Da j =1 wäre 

Die erste Ableitung ist aber mal + 1/2 x f(x)

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Kommentar von ELLo1997
26.08.2016, 22:08

Achtung: n ist 1 bei der ersten Ableitung. j geht somit von Null bis Null. Das heißt schlicht, dass nur ein Faktot dasteht, nämlich der mit j = 0.

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