Kann mir jemand die Fouriertransformation mit diesem Beispiel erklären?

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1 Antwort

kann am Handy leider kaum lesen; kann dir später damit helfen. Was genau verstehst du bei FT nicht?

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HanzeeDent 24.09.2016, 11:19

Ich sags mal so: Das Thema an sich wird erst viel später im Buch behandelt, aber das ist ein kleiner Auszug in Bezug auf Parameterintegrale in der eindimensionalen An alysis, in dem die Existenz des Integrals geprüft und anschließend auf Verhalten beim Differenzieren untersucht wird.

Hier sind recht abstrakte Schritte aufgeführt, die ich schwer nachvollziehen kann.

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HanzeeDent 24.09.2016, 11:56

Ich habe noch nicht verstanden, wieso diese Hilfsfunktion h(t) gewählt wurde und wie man oben in der rechten Spalte die partielle Integration vollführt.

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SlowPhil 24.09.2016, 13:21
@HanzeeDent

Ich habe das mit der Hilfsfunktion im Moment auch noch nicht durchdrungen. Das Wort »Majorante« deutet aber an, dass h(t) sozusagen schwerer zu integrieren ist als die Funktion, die man hier integrieren will.

Übrigens ist es erforderlich, dass ω und t beide dimensionslos sind, damit man beide überhaupt addieren kann. Allerdings muss t ohnehin dimensionslos sein, damit e^{–½t²} »Sinn macht«.

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kreisfoermig 24.09.2016, 17:07

Gut, jetzt verstehe ich den Kontext. Man zeigt zuerst, dass das Integral g(ω) für alle jeden Wert des Parameters, ω, existiert, was ja offensichtlich ist, da |ƒ(·)·exp(-ιωt)| = ƒ(·), welches ja bekanntermaßen in Lᴾ(ℝ) liegt für alle p ∈ [1, ∞] insbesondere für p=1.

Der „Trick“ besteht darin, dass man zuerst sehr schlampig „berechnet“, dann dies zum Ziel setzt, um dann ausführlich darauf hin zu arbeiten. Man verwende (sehr schlampig!) die Produktintegralregel (welche wir ja noch nicht rechtfertigen werden) und erhalten

g(ω) = ∫ ƒ(t)·exp(-ιωt) dt
= ∫ ƒ(t)·(exp(ιωt)/-ιω)' dt
„=“ [ƒ(t)·exp(-ιωt)/-ιω]
– ∫ ƒ´(t)·exp(-ιωt)/-ιω dt
= 0–0 – ∫ -tƒ(t)·exp(-ιωt)/-ιω dt
= -∫ -ιtƒ(t)·exp(-ιωt)dt / ω
= -∫ ∂/∂ω[ƒ(t)·exp(-ιωt)] dt / ω
„=“ -∂/∂ω[∫ ƒ(t)·exp(-ιωt) dt] / ω
= -∂/∂ω[g(ω)] / ω
= -g´(ω)/ω.

Darum erwarten wir (bis auf Überraschungen), bei genauerer Untersuchung

g´(ω) = –ω·g(ω)

rechtfertigen zu können.

Jetzt gehts darum, künstlich aber geschickt etwas zu wählen, um uns zum Ziel zu verhelfen. Hierfür schauen wir uns die schlechte Berechnung oben an, um uns motivieren zu lassen.

1. Das mit dem ersten „=“ können wir anhand eines passenden Lemmas sowie der Definition von unendlichen Integralen beweisen.

2. Vor dem zweiten „=“ wird das Integrand, k(t,ω) := ƒ(t)·exp(-ιωt), nach ω abgeleitet. Es gilt (∂/∂ω)k(t,ω) = -ιtƒ(t)·exp(-ιωt). Um das zweite „=“ zu rechtfertigen ist es notwendig (um ein passendes Lemma über unendliche Integrale von Ableitungen verwenden zu dürfen) zu beweisen, dass (∂/∂ω)k(t,ω) in L¹(ℝ) liegt. Um dies zu beweisen, beobachtet man:

|(∂/∂ω)k(t,ω)| = |-ιtƒ(t)·exp(-ιωt)|
= |t|·ƒ(t)

Jetzt geht es darum, eine obere Schranke zu finden, die bekanntermaßen intergrierbar ist (evtl. sogar die Funktion selbst). Irgendwie sind die Autoren auf die Funktion h gekommen. Ich frag mich ebenfalls wie… eigentlich ergibt ihr Vorschlag keinen Sinn. Ich komme  hingegen auf:

|(∂/∂ω)k(t,ω)| = |t|·exp(-½t²)
= 4·¼|t|·exp(-½t²)
≤ 4·¼t²·exp(-½t²) für |t|≥1
≤ 4·exp(¼t²)·exp(-½t²)
= 4·exp(–¼t²)

|(∂/∂ω)k(t,ω)| ≤ 1·exp(–½t²) ≤ 4·exp(–¼t²)
für |t|<1

Darum gilt |(∂/∂ω)k(t,ω)| ≤ 4·exp(–¼t²) für alle t, ω. Und man weiß, dass die Funktion rechts in L¹(ℝ) liegt.

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