Kann mir jemand die Differenzierbarkeit erklären?

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4 Antworten

Eine Funktion ist Differenzierbar, wenn sie keine Knicke hat , also 2 verschiedene Steigungen an der selben Stelle.

MsKiwila 19.03.2012, 22:59

Danke für den Anfang dieser Erklärung, aber das ist nicht genug. Ich schreibe morgen eine Arbeit darüber ...

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Ich bin erschrocken, was an tiefsinnigen Erklärungen hier alles geboten wird. Folgendes kann ich anbieten: Stell Dir ein Quadrat vor. In dieses Quadrat zeichnest Du eine Linie so ein, dass sie nirgends rückwärts geht. Das ist dann eine normale Funktion ( es gibt auch kaputte, wo sich die Linien überschneiden oder wo zwischendrin der Kugelschreiber versagt und man fängt irgendwo wieder neu mit der Linie an) . Wenn Du auf dieser durchgehenden Linie von links kommend die Steigung auf einen Punkt zu betrachtest, wird sie stets dieselbe sein, als wenn Du von rechts kommend die Steigung auf den selben Punkt zu betrachtest. Dann ist die Kurve stetig.

Ich denke, es ist nicht weiter schwierig, sich vorzustellen, dass es bei den "kaputten" Funktionen nicht so ist. Da kommt man an Überkreuzungen oder Sprünge, vielleicht auch Lücken. In diesen Punkten, die man sich auf der "Funktion" denkt, also auf den entsprechenden Linien, überkreuzt, gesprenkelt oder sonstwie nicht "normale" Linien, an vielen dieser Punkte wird die Steigung nicht einmal erklärbar sein. Die sind dann nicht stetig, jedenfalls an den Punkten, wo das Herangehen von Links einen anderen Wert liefert, als das Herangehen von rechts. Bei den kaputten Funktionen ist manchmal auf einer oder beiden Seiten nicht einmal ein Wert erklärt, nicht vorhanden.

gh7401 22.03.2012, 01:32

Hab ich doch tatsächlich die Stetigkeit im einfachsten Fall (es gibt viele Stetigkeiten, je nach Problem muss man hier einfallsreich sein) mit der Differenzierbarkeit durcheinandergeworfen.

WIKI sagt es so: Als Differenzierbarkeit bezeichnet man in der Mathematik die Eigenschaft einer Funktion, sich lokal um einen Punkt in eindeutiger Weise linear approximieren zu lassen. Also ein Punkt in unserem Quadrat, lokal: nahe an einer bestimmten Stelle, eben dem Punkt und nicht weit weg davon, eindeutig: an dem Punkt hat die "Funktion" nur einen einzigen bestimmten Wert, linear approximiern heisst: mittels Steigung in der unmittelbaren Umgebung des Punktes auf den Punkt zugehen zu können. Vielleicht hilft dies Bild, wie ich stets anrate: Nimm ein ganz leeres weisses Blatt Papier und einen sauber angespitzen Bleistift und mache Dir ein Bild von Deinem Problem. Das hilft!

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Eine Funktion ist differenzierbar an der Stelle x, wenn der Grenzwert (h ~> 0) folgenden Terms existiert:

(f(x + h) - f(x))/ h. Das heißt natürlich, dass sowohl der rechts- als auch der linksseitige Grenzwert existieren und gleich sein müssen.

Polynome (also alle ganzrationalen Funktionen) sind differenzierbar im ganzen Bereich der Reellen Zahlen.

gebrochen rationale Funktionen sind differenzierbar auf ihrem Definitionsbereich.

Die Betragsfunktion ist im Allgemeinen nicht differenzierbar.

Exponentialfunktionen sind differenzierbar

Verkettungen von differenzierbaren Funktionen sind differenzierbar.

Summen und Produkte von differenzierbaren Funktionen sind differenzierbar.

Ist eine Funktion differenzierbar an der Stelle x, so ist sie auch stetig in x.

Mehr fällt mir gerade nicht ein ^^

isbowhten 19.03.2012, 23:54

ich bin mir in dem punkt nicht ganz sicher, aber es könnte sein, dass linksseitiger und rechtsseitiger limes nicht ausreicht.

exakt definiert heißt es, dass der grenzwert existieren muss und für alle nullfolgen (h_n)n aus N gleich sein muss.

also nicht nur von links und von rechts, sondern auch für die nullfolge, die konstant 0 ist.

bei stetigkeit ist dieser kleine unterschied sehr wichtig.

hier hätte man mit konstanter nullfolge allerdings division durch 0.

ich bin ein wenig verwirrt.

kannst du mir klarheit verschaffen?

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Melvissimo 20.03.2012, 04:18
@isbowhten

Mhm... Wir haben in unserer Vorlesung nicht die Definition über dieses Folgenkriterium - ich nenns der Einfachheit halber mal so - gelernt... Bei uns hieß es nur, dass der Grenzwert eindeutig existieren muss. Ich finde die Frage als solche aber durchaus interessant und man sollte ihr nachgehen. Ich kann im Internet keine solche Definition über die Nullfolge finden, kannst du mir vielleicht einen Link schicken, in dem so etwas ausgeführt wird?

Mal kurz meine eigenen Gedanken dazu (sag Bescheid, wenn ich Unfug rede, schließlich plaudere ich einfach drauf los) :

Wenn man wirklich für h_n die konstante Nullfolge einsetzen darf, so gilt ja stets, dass der Differenzenquotient 0/0 als Ergebnis hätte

(denn f(x+h) - f(x) = f(x) - f(x) = 0). Leider sind sowohl im Nenner als auch im Zähler dieselben konstanten Funktionen vorhanden, sodass man auch nicht mal darüber nachdenken kann, darüber zu argumentieren, dass irgendetwas schneller gegen 0 läuft oder nicht, geschweige denn dies zu beweisen. Insbesondere lässt sich somit gar keine Ableitung einer Funktion bestimmen, selbst wenn es eine gäbe (Sätze wie L'Hospital helfen einem ja auch nicht weiter, weil man dafür erst einmal eine differenzierbare Funktion kennen müsste...). Daher glaube ich, dass dieses Kriterium wohl nicht für die Definition von Differenzierbarkeit genutzt wird, auch wenn es sehr wohl für Stetigkeit von hoher Relevanz ist.

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isbowhten 20.03.2012, 12:13
@Melvissimo

also ich habs nochmal ganz genau in unserem skript nachgelesen.

da steht dass es für jede nullfolge gelten soll, ABER ausgeschlossen wird, (wegen division durch 0 nehm ich mal an), dass folgenglieder den wert 0 annehmen.

ich weiß dann aber immernoch nicht ob rechtsseitiger und linksseitiger limes im allgemeinen ausreicht (zwar in 100% der vorkommenden fälle xD, aber...).

es könnte ja eine ganz komisch definierte zusammengesetzte funktion sein, sodass man für verschiedene folgen auch verschiedene abbilder als funktionswert hat und dann ein anderer funktionswert rauskommt.

ich werd wohl kein beispiel hierfür finden. oder kann man behaupten, man betrachte bei limes von links alle nullfolgen, die für fast alle glieder kleiner 0 sind? kann man das so verallgemeinern? (vermutlich schon) dann würde es ja in der tat ausreichen.

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MsKiwila 20.03.2012, 14:39
@isbowhten

Okay, ich denke, das hier ist die beste/ausführlichste Antwort. Dankeschön :D

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Melvissimo 20.03.2012, 14:44
@isbowhten

Sei der rechtsseitige Grenzwert gleich dem linksseitigen.

Naja, wenn h_n eine beliebige Folge ist, so gilt ja stets mindestens eine der beiden Aussagen:

1) Unendlich viele Folgenglieder sind kleiner als 0.

2) Unendlich viele Folgenglieder sind größer als 0.

Wenn jetzt oBdA nur der erste Fall eintritt, betrachten wir die Teilfolge, bei der alle Foglenglieder kleiner als 0 sind. Damit kommen wir auf den linksseitigen Grenzwert und dieser ist gleich dem rechten. Beim zweiten Fall läuft es natürlich analog.

Der interessante Fall ist doch, wenn sowohl 1) als auch 2) gelten. Dann betrachten wir die beiden Teilfolgen h_ n+ und h_ n- (ich glaube es ist klar, was ich meine).

Damit kriegen wir für h_ n+ den rechtsseitigen Grenzwert raus und h_ n- den linksseitigen. Insbesondere sind diese aber identisch nach Voraussetzung. Die beiden Teilfolgen decken übrigens jedes Folgenglied ab (da h_ n nicht gleich 0 wird), also konvergiert jede Teilfolge gegen den Grenzwert, somit auch die gesamte Folge h_ n.

Da h_ n beliebig gewählt war, konvergiert bei jeder Nullfolge der Differenzenquotient gegen denselben Grenzwert.

Also gilt: Sind linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten gleich, dann ist er auch für jede Nullfolge identisch.

Also sollte es hinreichend sein zu zeigen, dass rechts und links übereinstimmen.

Falls dir ein Fehler auffällt, bitte nicht zögern, ich hab wieder mal nur drauf los geschrieben ;)

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isbowhten 20.03.2012, 15:50
@Melvissimo

nun ich habe schonmal genau so wie du geraede argumentiert aber im rahmen einer speziellen funktion, die nur bei einer stelle anders definiert war als bei den anderen stellen.

bei dieser einen funktion war es richtig. und ich denke auch es ist richtig für funktionen, die "normal" sind und bei höchstens einer stelle anders definiert sind.

bei funktionen, die total komisch definiert sind, wie zB die dirichlet funktion (klar, dass diese nicht differenzierbar ist.. mir fällt eben kein analogon zur stetigkeit bei differenzierbarkeit ein), bin ich noch nicht 100% sicher.

ich probier mal ein wenig herum, aber ich denke du hast recht

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isbowhten 20.03.2012, 16:43
@isbowhten

hm ich bin mit meinem können an meine grenze gestoßen bei der funktion:

f(x) = x falls |x| darstellbar ist durch 1/n für ein n aus N und sonst f(x) = 0

das ist quasi eine gerade, die je große löcher hat, aber je näher man zur 0 kommt, desto besser wird die gerade angenährt.

die frage ist nun: gibt es eine folge, sodass nicht 1 als steigung rauskommt beim differenzenquotienten? wenn ja, dann reicht links und rechtsseitiger limes i.a. nicht aus. also es kann ja nur bei der ableitung 1 oder 0 rauskommen. ich habe bisher immer 1 rausbekommen und finde keine folge, für die ich 0 rausbekomme. d.h. mein linksseitiger und rechtsseitiger limes ist gleich. ich versuche nun eine weitere rechtsseitige oder linksseitige nullfolge zu finden, für die 0 rauskommt.

ein problem hab ich auch zB bei der folge 1/sqrt(n) . dafür gibt es einige wenige sonderfälle, sodass dies auch durch 1/m darstellbar wäre, aber ganz viele fälle, bei denen dies eben nicht gilt, also f(x) = 0 gelten würde.

kann man damit überhaupt den grenzwert des differenzenquotienten bestimmen?

die menge aller folgenglieder von 1/n (laut definiton der funktion) liegt dicht in der menge all jender glieder vereinigt mit der 0. (wenn ich mich nicht irre) deshalb gibt es auf jedenfall eine folge, sodass stelle 0 differenzierbar ist, aber es müsste ja auch andere folgen geben?

ich bin verwirrt.

ich denke aber dass die folge 1/sqrt(n) die grenzwertberechnung unmöglich macht.

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isbowhten 20.03.2012, 16:47
@isbowhten

btw: vergessen zu erwähnen. an der stelle 0 ist die funktion aber immerhin stetig. es ist also nicht alles verloren ^^

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Melvissimo 20.03.2012, 17:51
@isbowhten

{x aus R | x ist darstellbar durch 1/n für ein natürliches n} ist ja eine Teilmenge der rationalen Zahlen. Also gilt für irrationale Zahlen x direkt: f(x) = 0. Nun wähle ich einfach h_ n als eine Nullfolge von irrationalen Folgengliedern (z.B. (Wurzel 2) / n). Damit ist der Differenzenquotient bei 0 stets:

(f(0 + h) - f(0)) / h = (f(h) - 0) / h = f(h) / h. Nun ist h irrational für jedes n.

=> f(h) / h = 0 / h = 0. Somit gibt es eine Folge, bei der der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht gleich 1 ist. (Für jede rationale Folge wäre er gleich 1). Somit wäre f nicht differenzierbar an der Stelle 0.

Andererseits weiß ich nicht, ob das die links- und rechtsseitiger Grenzwert - Definition unbedingt außer Kraft setzt, denn offen gestanden weiß ich gar nicht, wie man den rechtsseitigen Grenzwert hier vernünftig bilden sollte.

Zu deinem Problem mit der Folge 1/sqrt(n) muss ich mir noch Gedanken machen.

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isbowhten 20.03.2012, 18:07
@Melvissimo

nun der rechtsseitige limes, wenn man nicht weiß wie man ihn machen soll, scheint wohl nicht zu existieren.

man findet folgen sodass ableitung = 0 und welch emit ableitung = 1.

aber das geht auch indem man die folgen auf ein vorzeichen einschränkt. eine folge irrationaler zahlen und eine folge rationaler zahlen können beide von rechts, also positiv gewählt werden.

nur die frage ist, ob der rechtsseitige limes so überhaupt definiert ist. wenn es folgen von rechts gibt, die unterschiedliche ergebnisse liefern, dann gibt es ja vielleicht den rechtsseitigen limes garnicht.

daher wäre dein argument keineswegs außer kraft gesetzt. man muss nur gewährleisten, dass der rechtsseitige (und der ensprechende linksseitige) limes existiert.

man könnte garantieren, dass die teil-limites existieren, wenn es ein epsilon>0 gibt, sodass für alle x in der epsilon-umgebung um den punkt, den man betrachtet, gilt, dass die bildfolgen dem gleichen funktionsterm zugrunde liegen. d.h. in der umgebung der stelle, die man betrachtet, muss die funktion auch darstellbar sein durch einen nicht-zusammengesetzten funktionsterm.

dann würde man auch nur dann probleme bekommen mit dem ableiten, falls wie in meinem beispiel die funktionswerte dieser "(1/n)-zahlen" dicht um die 0 herumliegen.

hm ich denke, man kann rechtsseitigen und linksseitigen limes verwenden, solange es eine umgebung gibt, sodass die funktion auf dieser umgebung in allen punkten stetig ist. (vermutung)

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isbowhten 20.03.2012, 18:30
@isbowhten

argh.. da fällt mir gerade auf, dass wir doch alle sätze über differenzierbarkeit so aufgeschrieben haben, dass f in (a,b) differenzierbar ist und in [a,b] stetig ist (was genau meiner geforderten vermutung entspricht).

wenn es also keine eindeutige "linksseitige" und "rechtsseitige" ableitung gäbe, dann wäre automatisch ein verstoß gegen stetigkeit gegeben.

hab ich da jetzt den geistesblitz gehabt, oder bin ich blöd?

damit wäre der rechtsseitige und linksseitige limes hinreichend.

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Melvissimo 20.03.2012, 18:45
@isbowhten

Da ich keine Antwort darauf weiß, springe ich nochmal zum Ausgangspunkt zurück:

Genau genommen unterscheiden sich unsere Definitionen ja gar nicht. Der Grenzwert kann ja über Folgen definiert werden. Ich habe bei Wikipedia noch einmal die Definition von Grenzwert nachgeschlagen:

Ein Grenzwert L im Häufungspunkt x einer Funktion f existiert genau dann, wenn für jede Folge h_ n mit h_ n ~> x gilt: f(h_ n) ~> L.

(http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_%28Funktion%29) Insbesondere gilt, wenn man ein bisschen weiter runterscrollt:

Der Grenzwert existiert genau dann, wenn die beiden einseitigen Grenzwerte existieren und übereinstimmen. In diesem Fall gilt die Gleichheit.

Nun wende ich das mal auf unseren Differenzenquotienten an: Wenn rechts- und linksseitiger Grenzwert in a übereinstimmen, ist der Grenzwert L also vorhanden. Das bedeutet aber auch, dass die Grenzwertdefinition über Folgen wahr sein muss:

Für jede Folge x_ n ~> a gilt: D(x_ n) ~> L. Hierbei gilt:

D(x_ n) = ( f(x_ n) - f(a)) / (x_ n - a). Das muss man nicht beweisen, das hab ich eben so definiert :D Insbesondere ist dies ja nur eine andere Schreibweise für den Differenzenquotienten. Das heißt, wenn ich alles nun umwurschtel und das über ne Nullfolge darstelle, komme ich exakt auf deine Definition. Oder?

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isbowhten 20.03.2012, 18:54
@Melvissimo

ich denke schon.

der rechtsseitige limes und der linksseitige müssen eben eindeutig bestimmt sein und gleich sein.

das akzeptier ich jedenfalls so ^^

nur bei meiner beispielsfunktion sind diese aber glaubich für jede nullfolge linksseitiger grenzwert und rechtsseitiger gleich. aber die teil-grenzwerte an sich sind nicht eindeutig bestimmt.

das wäre der widerspruch zu:

"Ein Grenzwert L im Häufungspunkt x einer Funktion f existiert genau dann, wenn für jede Folge h_ n mit h_ n ~> x gilt: f(h_ n) ~> L. "

also für mich ist damit eigentlich alles geklärt.

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Melvissimo 20.03.2012, 19:10
@isbowhten

Ich würde auch sagen, dass sich dieses Thema nun erledigt hat. Beide Definitionen scheinen äquivalent zu sein (was sehr hilfreich ist, denn wenn ich deine nicht gehört hätte, würde ich in Zukunft bei solch merkwürdigen Funktionen scheitern ^^).

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