Kann mir jemand bei komplexen Zahlen helfen? Bsp: (3-2i)/(1+i)^2 bitte weiterhelfen?

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4 Antworten

Bei einer komplexen Zahl z = x + iy ist deren Produkt mit dem komplex Konjugierten z̄ = x − iy immer reell:

(x + iy)(x − iy) = x² + ixy − ixy − i²y² = x² + y² =: |z|²

(3. Binomische Formel), und so ist durch |z| auch der Betrag von z definiert. Die Erweiterung eines komplexen Bruches mit dem komplex Konjugierten des Nenners macht den Nenner reell und sorgt so dafür, dass auch Brüche in der Form Realteil + Imaginärteil·i geschrieben werden können.

Zudem ist durch die EULER'sche Formel

e^{iφ} = cos(φ) + i·sin(φ)

auch ein Winkel definiert durch

φ = arctan(y/x),

falls x⪈0 ist. Bei x=0 ist φ=π/2·sgn(y), und im Fall x⪇0 muss π addiert oder subtrahiert werden. Damit ist auch

z = |z|·e^{iφ},

was dann leichter zu multiplizieren ist. Die Beträge multiplizieren, die Phasenwinkel φ addieren sich. Beim potenzieren mit einer Zahl n multiplizieren sich die Phasen.

Die Potenzen von i haben alle den Betrag 1 und sind im Bild dargestellt.

Potenzen von i - (Mathe, komplexe zahlen)

erst mal den Nenner reell machen - indem mit (1 - 2i) / (1 - 2i) erweitert wird. Der Rest ist dann einfach (ausmultiplizieren, zusammenfassen). Das gibt also

= (3 - 2i) * (1 - 2i) / 5 oder

= (3 - 6i - 2i + 4) / 5

= (7 - 8i) / 5 (sofern ich mich nicht verrechnet habe...)

 

 

Übrigens nervt es ziemlich, wenn die Fragestellung nach Veröffentlichung noch mal verändert wird :-(

Geograph 26.03.2017, 19:41

"Übrigens nervt es ziemlich,..."

Da hast Du recht, aber GF ist nicht dazu zu bewegen, Fragen erst nach Ablauf der Korrekturfrist zu veröffentlichen (:-(((

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SlowPhil 27.03.2017, 00:12
@Geograph

Ich finde es gut, dass sich Fragen korrigieren lassen. Ich mache das öfters, besonders dann, wenn die Frage unübersichtlich und fehlerhaft geschrieben ist.

0

Bei solchen Brüchen aus 2 komplexen Zahlen kannst du immer mit dem komplex konjugierten erweitern und dann im Nenner die dritte binomische Formel benutzen.

(3-2i)/(1+2i+i^2) =
(3-2i)/2i =    ( * i/i )
(3i+2)/-2 =
-1 -3/2*i

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