kann mir jemand bei der aufgabe hier helfen themenbereich komplexe wurzeln?

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4 Antworten

Hallo,

jetzt weiß ich, wie's geht:

Du hast die komplexe Zahl z=a+ib

und Du suchst eine zweite komplexe Zahl y=c+id, so daß gilt:

z^n=y

dann ist z die n-te Wurzel aus y.

Um diese Wurzel zu bestimmen, machst Du es zunächst so, als wolltest Du den Betrag eines Vektors bestimmen. Du nimmst y=c+id und ziehst die Wurzel aus (c²+d²), also √(c²+d²)

Aus dieser Wurzel ziehst Du nun die n-te Wurzel. Das Ergebnis entspricht dem r der Polarkoordinaten von z, der gesuchten Wurzel.

Nun bestimmst Du den Winkel, den y mit der x-Achse bildet.

Das ist der Arcustangens von d/c. So wird auch die Steigung einer Geraden berechnet. 

Wenn Du diesen Winkel (α) hast, bildest Du drei weitere Winkel, die Du für die drei Lösungen benötigst. Dafür gibt es die Formel:

φ(k)=(α+k*2π)/n, wobei k der Index der Lösung ist (0,1,2...n) und n der Grad der Wurzel bzw. die Anzahl der Lösungen.

Du hast also r und φ(k) berechnet und kannst jetzt φ(k)
bestimmen:

z(k)=r*(cos(φ(k))+i*sin(φ(k))) Die Formel mit den Winkelfunktionen ergibt sich aus der Identität e^(i*φ)=cos(φ)+i*sin(φ)

Bezogen auf Dein Beispiel z^3=2-2i bedeutet dies:

r=³√(√(2²+(-2)²))=³√(√8))=√2

α=arctan(-2/2)=arctan(-1)=-0,7854 (Bogenmaß)

φ(0)=(-0,7854+0*2π)/3=-0,2618

φ(1)=(-0,7854+1*2π)/3=1,8326

φ(2)=(-0,7854+2*2π)/3=3,927

Nun kannst Du endlich die drei Lösungen z(k) bestimmen:

z(0)=√2*(cos(-0,2618)+i*sin(-0,2618))=1,366-0,366i

z(1)=√2*(cos(1,8326)+i*sin(1,8326)=-0,366+1,366i

z(2)=√2*(cos(3,927)+i*sin(3,927))=-1-i (da ich bei 3,927 gerundet habe, zeigt der Rechner einen geringfügig abweichenden Wert an).

So lassen sich alle Wurzeln einer komplexen Zahl auf relativ einfache Art bestimmen. 

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Willy1729
07.11.2016, 20:04

Du suchst natürlich nicht y, sondern z. y ist ja einfach zu bestimmen, wenn man z kennt.

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Kommentar von RealAutism
07.11.2016, 20:09

super vielen vielen dank endlich hab ichs verstanden :D

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Kommentar von Willy1729
07.11.2016, 21:02

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Hallo,

ich habe ein bißchen herumprobiert und -1-i als Lösung für z herausbekommen.

2*(1-i)=2-2i

(-1-i)²*(-1-i)=(1+2i-1)*(-1-i)=2i*(-1-i)=-2i+2 (denn -i*i=1)

Also ist die dritte Wurzel aus 2-2i bzw. 2*(1-i)=-1-i

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von NoTrolling
06.11.2016, 21:24

Willy, die n-te Wurzel einer komplexen Zahl hat immer n Lösungen.

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So, jetzt habe ich mit |z|=sqrt(2) und phi=-pi/12+2pi*n/3 mit n € {0,1,2} die Lösungen:

z1 = sqrt(2)*[cos(-pi/12)+i*sin(-pi/12)]

z2 = sqrt(2)*[cos(7pi/12)+i*sin(7pi/12)]

z3 = sqrt(2)*[cos(15pi/12)+i*sin(15pi/12)]

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Kommentar von RealAutism
06.11.2016, 21:46

ok kannst du vielleicht kurz deinen weg erläutern und welche formel genau du genommen hast dafür`? du hast ja zuerst auch in polarform umgewandelt oder? da kommt dann ja 2*sqrt(2) * e^i*(pi/4)  richtig?

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Du kannst ja 2-2i erstmal in Polarkoordinatenform angeben mit

|z^3|=sqrt(8) und phi=-pi/4

Die 3 Lösungen der Gleichung haben jetzt als Betrag die dritte Wurzel von
|z^3| und phi= (2n/3-1/4)pi mit n € {1,2,3}

Entsprechend:

z1 = root_6(8)*[cos(5pi/12)+i*sin(5pi/12)]

z2 = root_6(8)*[cos(13pi/12)+i*sin(13pi/12)]

z3 = root_6(8)*[cos(7pi/4)+i*sin(7pi/4)]

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Kommentar von NoTrolling
06.11.2016, 21:13

Sorry, das ist so nicht richtig, ich bin wohl mit dem Winkel durcheinander gekommen.

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Kommentar von NoTrolling
06.11.2016, 21:27

Versuchs mal mit phi= pi/12+2pi*n/3

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