Kann mir jemand bei den folgenden Mengen helfen wie man die Äquivalenz beweisen kann(Aufgabe 2)?

...komplette Frage anzeigen Äquivalenz  - (Mathematik, Informatik, Elemente)

2 Antworten

Mach beide Richtungen einzeln:

"<=": Es genügt zu zeigen, dass für zwei höchstens abzählbare Mengen A,B auch deren kartesisches Produkt A x B abzählbar ist (warum genügt es, das zu zeigen?). 

Um das zu zeigen, wirst du wohl ein wenig basteln müssen; du brauchst eine surjektive Abbildung von den natürlichen Zahlen nach A x B bzw eine injektive Abbildung von A x B in die natürlichen Zahlen. 

Übrigens ist ein äquivalentes Problem unter dem Namen "Hilberts Hotel" bekannt. 

"=>": Diese Richtung ist nicht schwierig zu zeigen. Finde eine surjektive Abbildung vom kartesischen Produkt in die Menge A_i (für ein beliebiges i).

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Das klingt stark nach einem Induktionsbeweis...

Machs für n=1 und wenn das hin haut, dann ersetzt du n durch "n+1" und versuchst, das ganze umzuformen, so dass wieder n raus kommt.

http://www.emath.de/Referate/Vollstaendige-Induktion.pdf

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