Kann mir jemand ausführlich die Vollständige Induktion erklären?

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1 Antwort

Eine Vollständige Induktion ist eine Beweismethode. Mit dieser möchte man zeigen, dass etwas für alle natürlichen Zahlen n gilt (z.B. eine Formel), indem du zeigst, dass, wenn es für ein n gilt, es auch für den Nachfolger n+1 gilt (also daher für alle n). Das läuft in der Regel so ab:

Man hat eine Vermutung, z.B. eine rekursive Zahlenfolge und vermutet eine explizite Zahlenfolge, dann kann man diese mit der vollständigen Induktion beweisen.

  1. Induktionsanfang: Hier probierst du deine Vermutung für n = 0, n = 1 und n = 2 aus. Denn es muss natürlich überhaupt erstmal für etwas gelten, sonst könntest du ohne Induktionsanfang beweisen, dass alle ungeraden Zahlen = 2k sind. 
  2. Induktionsvoraussetzung: Du sagst also, dass es für n funktioniert. Also schreibst du die Vermutung hin und setzt sie voraus. Also a_n = .... (deine Vermutung, wie du explizit das n-te Glied der Folge bestimmst). 
  3. Induktionsbehauptung: Jetzt kommt der Teil, den du beweisen willst. Also, dass es auch für n+1 dann gilt. Also a_n+1 = .... (hierbei nimmst du die gleiche Formel wie bei der Voraussetzung, ersetzt aber jedes "n" mit einem "n+1")
  4. Induktionsschritt: Alles vorher war eigentlich nur Aufschreibearbeit. Jetzt musst du versuchen von der Voraussetzung auf die Behauptung zu schließen. Wenn also die rekursive Vorschrift a_n+1 = a_n * 3 - 2 ist, dann musst du nun zeigen, dass a_n * 3 - 2 das gleiche ist, wie die explizite Vorschrift für n+1 (also die Behauptung). Man setzt eigentlich immer die Voraussetzung dafür ein (du könntest hier jetzt also statt a_n die explizite Form einsetzen). Dann musst du halt meist ein bisschen umformen und wenn dann die Behauptung rauskommt, ist der Beweis fertig! :)

qed :D

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Kommentar von vin030
21.11.2016, 18:46

Dankeschön ^^

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