kann mir irgendjemand sagen wie ich diese Aufgabe berechnen kann: bzw. den Grenzwert bestimmen kann a(index)n=n(ln n-(ln(n+3))?

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3 Antworten

n * (ln(n) - ln(n+3)) = -n * ln( (n+3) / n ) für n > 0

Wenn man da für n immer größere Werte einsetzt, dann erhält man als Ergebnis den Wert -3

Hallo HewaR,

hier noch ein Versuch die Frage zu beantworten. Das ganze Problem liegt für Dich darin den ln, den Logarithmus naturalis irgendwie zu packen. Das gelingt auch nur, wenn man bedenkt, dass der ganze Grenzwertprozess sich allein in der Umgebung des Argumentes von "1" abspielt. In dieser kleinen Umgebung wird der "ln" durch eine Ersatzfunktion angenähert. Entweder du schaust unter den Taylorreihen für ln(x) nach oder Du versuchst es mit einem eigenen Ansatz. Letzteres habe ich für Dich gemacht. In den Bildern findest Du die Lösung.

Grenzwertprozess 1 - (Mathe, Mathematik, Aufgabe) Grenzwertprozess 2 - (Mathe, Mathematik, Aufgabe) Logarithmusapproximation um x=1 - (Mathe, Mathematik, Aufgabe)

Umformen: n(ln(n) - ln(n + 3)) = n(ln(n/(n+3)) = -n(ln((n+3)/n)) = - ln[(1 + 3/n)^n]

Wenn wir den Grenzwert des letzten Ausdrucks nehmen, dann können wir verwenden, dass ln stetig ist, was unter anderem Bedeutet, dass lim x -> a ln(f(x)) = ln(lim x -> a f(x)), also ist lim x->infty a_n = -ln(lim x->infty (1 + 3/n)^n.

Wir erinnern uns an die Definition: e^x := lim x -> infty (1 + x/n)^n, also geht der innere Ausdruck gegen e^3, wodurch dein kompletter Grenzwert gegen -3 geht.

LG

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