Kann mir das wer Lösen(Ebenen im Raum)?

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5 Antworten

Hallo,

es gibt eine nette Methode, um zu untersuchen, ob sich zwei Geraden im Raum schneiden, ohne daß Du sie gleichsetzen mußt.

Du bildest eine 3x3-Matrix aus den beiden Richtungsvektoren und der Differenz der beiden Stützpunkte und berechnest ihre Determinate. Ist diese gleich Null, so schneiden sich die Geraden.

In diesem Fall sähe die Matrix so aus (die Vektoren mußt Du jeweils waagerecht hinschreiben):

1 2 0
3 1 1 
-4-3-1

Die -4;-3;-1 kommt zustande, indem Du den ersten Stützpunkt vom zweiten abziehst, also (-2/0/0)-(2/3/1) rechnest.

-2-2=-4

0-3=-3

0-1=-1

Die Determinante berechnest Du nach der Regel von Sarrus, indem Du die Summe der drei Nebendiagonalen von der Summe der Hauptdiagonalen abziehst.

Die Hauptdiagonalen bei der Matrix gehen von links oben nach rechts unten.

Du beginnst links oben bei der 1, multiplizierst sie mit der 1 in der Mitte und das Ganze mit der -1 rechts unten: 1*1*(-1)=-1

Jetzt fängst Du bei der 2 oben in der Mitte an, multiplizierst sie mit der 1 in der Mitte rechts und das Ganze mit der (-4) unten links: 2*1*(-4)=-8

Die letzte Hauptdiagonale fängt bei der Null rechts oben an. Da eine Null in dem Produkt vorkommt, ergibt sich auf jeden Fall 0.

Die Summe dieser drei Hauptdiagonalen ergibt -1-8+0=-9

Jetzt geht's von rechts oben nach links unten.

Rechts oben steht die 0. Erste Nebendiagonale gleich 0 (da brauchst Du gar nicht weiterzurechnen).

Zweite Nebendiagonale beginnt oben in der Mitte bei der 2 und geht dann über die 3 Mitte links zur -1 unten rechts:

2*3*(-1)=-6

Dritte Nebendiagonale: 1*1*(-3)=-3

Die Summe der Nebendiagonalen ist also -6-3=-9

Haupt- minus Nebendiagonalen ist also -9-(-9)=-9+9=0

Die Determinante ist Null - die Geraden schneiden sich, sind also weder parallel noch windschief.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von hrNowdy
02.09.2016, 17:21

Interessant, hilft aber nicht weiter wenn man den besagten Schnittpunkt daraufhin noch ausrechnen muss, oder übersehe ich etwas?

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Kommentar von Willy1729
10.09.2016, 00:06

Vielen Dank für den Stern.

Willy

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Bei Prüflingen hilft man doch gern :)

Du hast da 2 Geraden, die zu untersuchenden Eigenschaften
hast du ja schon genannt, die gehst du nun einer logischen
Reihe nach durch:

edit: ich definiere kurz um, da 2 mal die Variable t 
verwendet wurde:

g1: x= (2/3/1)+t(1/2/0)
g2: x= (-2/0/0)+g(3/1/1)

1. parallel?
Dafür müssten sich die Richtungsvektoren mit einem einfachen
Faktor ineinander überführen lassen. Geht in diesem Fall
nicht, da einer eine beim z-Wert 0 enthält und der andere nicht.

2. Schnittpunkt?
Du musst sowohl bei x,y und z bei bediden Geraden auf einen Wert kommen.

1. 2 + 1*t = -2 + 3*g
2. 3 + 2*t = 0 + 1*g
3. 1 + 0*t = 0 + 1*g --> g = 1

1. 2 + 1*t = -2 + 3 --> t = -1

2. 3 - 2 = 1 --> w.A.

für t=-1 und g=1 hast du also eine Übereinstimmung.

Demnach ist der Schnittpunkt bei (2/3/1)+(-1)*(1/2/0)
= (1/1/1). Also x=1, y=1 und z=1.

3. windschief? 
kannst du dann getrost ignorieren, wenn du schon einen Schnittpunkt
gefunden hast. Wäre dies nicht der Fall und die Geraden nicht parallel, so
wären sie definitiv windschief.




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Das sind zwei Geraden. Du könntest aber aus ihren Richtungsvektoren eine Ebene bestimmen, auf der dann beide Vektoren liegen würden:

E: <x> = < 2 ; 3 ; 1 > + r < 1 ; 2; 0 > + s < 3; 1 ; 1 >

Auch mit dem anderen Aufpunkt gäbe es eine.

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  An sich wäre ja ideal, wenn es eine Formel gäbe, mit der du nachrechnen kannst, ob sich zwei Geraden schneiden ja oder nein, ohne ausdrücklich ihren Schnittpunkt zu berechnen. Nun traf es sich, dass User " Billy Mo " auf dem Konkurrenzportal ===> Lycos eine ganz pfiffige Determinantenformel zur Berechnung von Ebenen angegeben hatte. Und da kam mir die Idee; ließe sich die Billy-Mo-formel nicht zu dem geforderten Zweck instrumentalisieren?

   De Frankfotter sescht ja ganz tippisch

   " Mer fasst sisch an de Kopp. "

    Also DAS hätte  man auch schon vorher wissen können. Gegeben zwei Geraden

   g1;2 := P1;2 + k1;2 t1;2    ( 1 )

   mit Anfangspunkten P1;2 so wie Richtungsvektoren t1;2 . Dann definiere mal folgende Funktion

 f ( t1 ; t2 ) := det ( t1 | t2 | P2 - P1 )  ( 2 )

   Ihr wisst, dass eine Funktion immer eine eindeutige Funktion ist; die Aussage ist also, dass Determinante ( 2 ) nicht von der besonderen Wahl der beiden Anfangspunkte P1;2 abhängt ( Beweis dürfte trivial sein. )

  Schließen wir zunächst aus, dass die beiden Geraden parallel sind ( was sich trivial überprüfen ließe. ) Dann lautet Kriterium ( 2 ) : Die Geraden schneiden sich dann und nur dann, wenn diese Determinante verschwindet ( Ich glaube, da gibt es für deinen Lehrer noch was zu lernen. )

   Beweis; angenommen sie schneiden sich ( notwendige Bedingung ) Setze P1 = P2 = Schnittpunkt.

   Und jetzt betrachten wir den Wind schiefen Fall. Und da kommt eine für mich typische Extremwertaufgabe ins Spiel.

   Verschiebe P1 längs g1 und P2 längs g2 so lange, bis ihr Abstand minimal. Es stellt sich heraus: Das ist dann der Fall, wenn der Vektor ( P2 - P1 ) senkrecht steht so wohl auf t1 als t2 . Die drei Vektoren in der Determinante ( 2 ) sind linear unabhängig.

   Rein anschaulich setze ich E1 gleich der Ebene, die von t1;2 aufgespannt  wird und Stützpunkt P1 € E1 . E2 entsprechend; P2 € E2 . Dann sind E1;2 parallel; ihr senkrechter Abstand wird markiert  durch den Vektor ( P2 - P1 ) . Ferner gilt für die beiden Wind schiefen Geraden g1;2 € E1;2 .

   Hier das ist auch net schlimmer  wie die Mitternachtsformel.

            |  1  3  4  |

   det = |  2  1  3  |   =  0   (  3a  )

            |  0  1  1  |

     Woher weiß ich jetzt, dass Determinante ( 3a ) verschwindet? Hier sieht man es wirklich sofort:

  Spalte 3 = Spalte 1 + Spalte 2  ( 3b )

   Also: Sie schneiden sich ( Hätte doch echt keinen Sinn, einen Schnittpunkt fürWind schiefe Geraden auszurechnen. )

  Ich seh grad; dein Beispiel ist so Klasse gewählt, dass du gar nicht mehr viel rum zu rechnen hast. Du musst doch beide Geraden gleich setzen:

 

 (2/3/1) + k1 (1/2/0) =   (  4a  )

  = (-2/0/0)+k2 (3/1/1)   (  4b  )

   Was bei dir in der Aufgabenstellung nicht ganz klar raus kommt: Du musst schon unterscheiden zwischen k1 und k2 ; du kannst unmöglich beide Male das selbe k verwenden.

   Und jetzt kommt der Trick; schau dir mal die z-Komponente von ( 4ab ) an:

   1 + 0 k1 = 0 + 1 * k2 ===> k2 = 1   (  5a  )

    Jetzt der Schnittunkt P0 laut ( 1 )

     P0 = P2 + k2 t2 = ( 1 | 1 | 1 )  ( 5b )

   Würdest du die Probe zusammen kriegen?

   Ich möchte noch einmal betonen, WELCH ein Segen diese Determinante ist;  für uns ist die triviale Gleichung ( 5a ) HINREICHEND .

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Das sind doch Geraden und keine Ebenen. Tipp: Was kannst du über ihre Richtungsvektoren sagen?

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Kommentar von SchonBemerkt
02.09.2016, 15:11

das sie nicht parralel sind, so weit war ich auch schon, aber ob Schneidend oder Windschief das ist hier die Frage.  Ich hätte nur gern eine Rechnung, damit ichs genau verstehe

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