Kann mir bitte jemand bei dieser Matheaufgabe helfen ?

...komplette Frage anzeigen Die Aufgabe - (Mathematik, Prozent, Zinsrechnung)

5 Antworten

Wenn nichts anderes gesagt wird, geht man bei unterjährigen Zinsrechnungen vom einfachen Zins aus, erst bei mehrjährigen Rechnungen hat man den Zinseszins drin (falls die Zinsen nicht jährlich abgeholt werden).

Daher erst einmnal die Kip-Regel:

z = Kip/100         z = Zinsen        K = Kapital       p = Prozentsatz
                          i = 1 bei einem Jahr     (0,5 bei einem halben Jahr)
                          i = m/12 bei Monaten
                          i = t/360 bei Tagen

Ich setze ein:
z = 72000 * 1 * 3,5 / 100
z = 2520 €                           normale Verzinsung

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Umformen der Kip-Formel für bekannte Zinsen (Kapital wird gesucht):

Kip = 100 z
K    = 100 z / (i * p)

K = 100 * 2520 / (0,5 * 3,5)
K = 144000 €                      es war klar, dass es das Doppelte sein musste,
                                          aber Errechnen bringt Sicherheit

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Bei zweijähriger Verzinseszinsung bedarf es nicht der Entwicklung der kompletten Exponentialfunktion. (Vermutlich ist sie der Klasse noch gar nicht bekannt.) Man kann gerade noch auch mit der Kip-Formel hantieren, weil man das Ausgangskapital für das zweite Jahr kennt:

K₁ = 72000 + 2520 = 74520 €

Daher z = 74520 * 1 * 3,5 / 100
          z = 2608,20                     dazu K₁

        K₂ = 77128,20 €                nach 2 Jahren

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Denk dir die Ergebnisse weg. Wenn du es richtig üben willst, solltest du es sowieso auf einem Zettel neu entwickeln und dann vergleichen.

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Kommentar von Volens
21.04.2017, 11:01

Ich sehe gerade, bei der Anlage für ein halbes Jahr sollen seitens der Bank 4% gewährt werden. Das bedarf einer simplen Umschreibung:

K    = 100 z / (i * p)       nunmehr:

K    = 100 * 2520 / (0,5 * 4)

0

Du hast das Kapital K (in Euro), den Zinsatz z (in %) und die Anlagedauer j (in Jahren)

Wenn j = 1 Jahr ist, hast du nach diesem Jahr das Kapital K1:
K1 = K + K*z = K (1+z) (Also das Ursprungskapital + die Zinsen)

nach 2 Jahren ist das Kapital K2
K2 = K1 + K1*z = K (1+z) + K (1+z)*z = K(1+z + z+z²) = K (1+z)²

Allgemein gilt:
Das Kapital am Ende nach j Jahren beträgt
Ke = K(1+z)^j

Die kumulierten Zinsen (also der reine Zuwachs) betragen/beträgt:
Z = K(1+z)^j - K = K((1+z)^j -1)

a)
Zinsen 72 000 €, 1 Jahr, 3,5%: 72 000 € * 0,035 = 2 520 €
Gefragt: 2 520 € = x € * (1+0,04)^0,5 - 1) -> x bestimmen

b) Ke = 72 000 (1 + 0,035)²

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Hallo,

die Aufgabenstellung ist schlampig wie nur was.

Ist gemeint, wieviel angelegt werden muß, um bei einem Zinssatz von 4 % in einem halben Jahr soviel Zinsen zu erhalten, als wenn man 72.000 Euro ein Jahr lang zu 3,5 % anlegt?

Dann rechnest Du 720*3,5, um die Zinsen für ein Jahr zu berechnen, das ergibt 2520.

Soviel Zinsen soll ein zu 4% angelegtes Kapital in einem halben Jahr erbringen.

Du rechnest also x*0,02=2520 und x=2520/0,02=252000/2=126.000.

Bei der zweiten Frage steht nicht, ob sie sich auf einen Zinssatz von 3,5% oder 4% bezieht. Nehmen wir 4% und nehmen wir an, daß die Zinsen jährlich berechnet werden:

72.000 €*1,04^2=77875,20 € mit Zins und Zinseszins.

Du rechnest nach der Formel Guthaben=K*(1+p/100)^t, wobei K das Anfangskapital, p der Zinssatz und t die Anzahl der Zeiteinheiten (hier: Jahre) ist, während derer das Kapital auf der Bank liegt.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von gfntom
20.04.2017, 21:38

Deine Lösung a) stimmt nur, wenn man nicht von einer Zinsesverzinsung ausgeht, nur dann ist es legitim zu sagen: 4% pro Jahr = 2 % pro Halbjahr.

Die Differenz zur exakten Rechnung ist zwar mimimal, falls es jedoch um Zinseszinsrechnung geht - was der Kontext vermuten lässt - so kommt es wohl gerade auf diesen Unterschied an.

zu b) ich denke, hier ist der Zinssatz von 3,5 % gemeint - so stehts in der übergordneten Angaben, die 4% tauchen ja nur in a) auf.

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Kommentar von Geograph
20.04.2017, 22:29

die Aufgabenstellung ist schlampig wie nur was.

DH!

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Ich mag ja eigentlich solche Rechnungen mit Bildchen nicht so gern. Man muss erst einmal das Bild öffnen, kann nicht kopieren usw. - aber geschenkt!

Ich fange aber mit der zweiten Aufgabe an, denn diese ist eindeutiger formuliert. Das Kapital

K(0) = 72000€

vergrößert sich bei Mitverzinsung der Zinsen in gleichen Zeiten um den gleichen Faktor. Mit einem Zinssatz von

i = p/100 = 3,5/100 = 0,035

ist dieser Faktor pro Jahr

q = (1+i) = 1,035

und das Kapital nach 2 Jahren

K(2a) = K(0)·q² = K(0)·(1+i)².

Das lässt sich auch als sogenannte e-Funktion schreiben:

K(2a) = K(0)·e^{2·ln(q)},

oder allgemeiner

K(na) = K(0)·e^{n·ln(q)}.

Die Funktion e^{x} ist diejenige Funktion, deren Ableitung (Änderungsrate) mit dem Funktionswert identisch und nicht nur proportional ist. Dabei ist e=2,718281828… die EULERsche Zahl, eine irrationale Zahl übrigens, auch wenn die ersten 9 Nachkommastellen periodisch aussehen, und ln(…) ist der Natürliche Logarithmus.

Bei der ersten Aufgabe bin ich mir nicht sicher, ob auch hier eine exponentielle Verzinsung gemeint ist oder eine lineare. Beides soll es geben
(https://de.wikipedia.org/wiki/Zinsrechnung#Unterj.C3.A4hrige\_Verzinsung).

Dass bei der zweiten Aufgabe explizit eine exponentielle Verzinsung angenommen wird, lässt natürlich vermuten, dass die Verzinsung hier linear ist. In dem Fall müste natürlich

½·K'(0)·i' = K(0)·i
und damit
K'(0) = 2·K(0)·i/i' = (7/4)·K(0)

sein. Bei exponentieller Verzinsung muss man

K'(½) = K'·q^{½}

ansetzen, denn es muss ja

K(1a) = K(0)·q = K(0)·(q^{½})²

sein. Damit wäre der Zinswert

K'(0)·(q^{½} – 1) = K(0)·i.

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Ich erinnere mich auch gern an die Zeiten als diese Rechnungen noch realistisch waren.

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Kommentar von l3xxd3xx
20.04.2017, 21:09

??

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