Kann mir bitte jemand bei diesen beiden Aufgaben die Grenzwerte bestimmen und die vereinfachen ?

Ober und untersumme - (Schule, Mathe, Aufgabe)

3 Antworten

Schreibe besser immer auf, worum es gehen soll, weil so wie es da steht macht die Aufgabe wenig Sinn...

Die Summe der Quadratzahlen von 1 bis n ist: n(n+1)(2n+1)/6.

Kannst Du u. a. hier nachlesen, warum das so ist.:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel1.htm

Die Erklärung/Herleitung ist etwas umfassender als bei der Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n.

Wenn Du das jetzt mit 1/n³ multiplizierst, wie Du es bei der Obersumme notiert hast, erhältst Du als Summe der ersten n Quadratzahlen:

S(n)=n(n+1)(2n+1)/(6n³)

Um nun an den Grenzwert für n->unendlich zu kommen, klammerst Du im Zähler jeweils das n aus den Klammern aus, ergibt:

S(n)=n * n(1+1/n) * n(2+1/n)/(6n³) = n³(1+1/n)(2+1/n)/(6n³)

Jetzt kannst Du n³ kürzen:

S(n)=(1+1/n)(2+1/n)/6

Bildest Du jetzt den Grenzwert für n->unendlich, dann werden die Brüche 1/n zu Null (je größer der Nenner wird, um so kleiner wird der gesamte Bruch bei kontantem Zähler).

lim n->unendlich (1+1/n)(2+1/n)/6 = (1+0)(2+0)/6 = 2/6 = 1/3

Für die Obersumme läuft also die Summe bei immer größer werdenden n's gegen 1/3.

Bei der Untersumme, wie sie da steht, wird die Summe immer größer. Hier kommt als Summe wie oben geschrieben n(n+1)(2n+1)/6 raus, d. h. wird n immer größer, dann wird auch der Zähler immer größer; der Nenner bleibt konstant 6...

Untersumme :
Die Potenzsumme U(n) = Summe(k=1..n) k^2 hat die Lösung
U(n) = 1/6 * n * (n+1) * (2n+1).

Beweis durch vollständige Induktion : U(n) + (n+1)^2 = U(n+1)

Obersumme :
Deswegen gilt für die Obersumme

O(n) = U(n) * 1/n^3
O(n) = 1/6 * n * (n+1) * (2n+1) * 1/n^3
O(n) = 1/6 * (n+1) * (2n+1) * 1/n^2
O(n) = 1/3 + 1/(2n) + 1/(6n^2)

Für n gegen unendlich gilt O(n->unendlich) = 1/3

Die Untersumme divergiert.

Bitte. Das wäre sehr nett, weil ich es selber nicht so verstehe.

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