Kann man Zeitdilatation und Längenkontraktion im selben Minkowski-Diagramm darstellen oder braucht man zwei?

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2 Antworten

Kann man Zeitdilatation und Längenkontraktion im selben Minkowski-Diagramm darstellen, oder braucht man zwei?

Man braucht nur eines. Die Diagramme in

https://de.wikipedia.org/wiki/Minkowski-Diagramm#Zeitdilatation

und 

https://de.wikipedia.org/wiki/Minkowski-Diagramm#L.C3.A4ngenkontraktion

sind eigentlich eines, nur dass beim zweiten noch zwei zu den Zeitachsen ct und ct′ parallele Geraden hinzugekommen sind (logisch, man will ja die so genannte Längenkontraktion demonstrieren, da braucht man die Parallelen) und die Punkte im zweiten Diagramm neu bezeichnet werden.

Was hier leider fehlt, sind die Lichtkegel und die Hyperbeln, wie sie im allerersten Diagramm eingezeichnet sind. Die Hyperbeln sind dasselbe für eine Rau-Zeit-Ebene wie Kreise um den Ursprung für eine räumliche Ebene. Sie sind die Menge aller Punkte gleichen Abstandes vom Ursprung.    

Kritik an den Bezeichnungen

Ich bin nicht ganz glücklich mit den Bezeichnungen »Längenkontraktion« und »Zeitdilatation«.

Sie - und die Formulierung »relativistischer Massenzuwachs« sind alte Zöpfe eines Denkens, das in der alten Betrachtung von Raum und Zeit als grundverschiedenen Größen beruhen.

Dabei sind sie eigentlich längst abgeschnitten, nämlich durch raumzeitliches Denken.

Die Lorentz-Transformationen

(1.1) t′ = (t – v·x/c²)/√{1 – v²/c²}
(1.2) x′ = (x – v·t)/√{1 – v²/c²}

werden mit

β := v/c
γ := 1/√{1 – β²}

zu

(2.1) ct′ = γ(ct – βx)
(2.2) x′ = γ(x – βct)

und mit

x₀ := ct,
x₁ := x,
ς := artanh(β) ⇒ γ = cosh(ς), γβ = sinh(ς)

zu

(3.1) x₀′ = x₀·cosh(ς) – x₁·sinh(ς)
(3.2) x₁′ = x₁·cosh(ς) – x₀·sinh(ς),

was sich im Vergleich mit

(4.1) x₁′ = x₁·cos(φ) – x₂·sin(φ)
(4.2) x₂′ = x₂·cos(φ) + x₁·sin(φ)

mutatis mutandis als Drehung herausstellt. Wenn zwei Autofahrer mit dem gleichen speed v in einem kleinen Winkel φ auseinander fahren, wird jeder bezüglich der Vorwärtsrichtung des Anderen nur mit v·cos(φ) vorwärts fahren. Hier wird auch nicht die Strecke gestaucht, sondern die Projektion liefert - natürlich - einen kleineren Wert.

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Kommentar von SlowPhil
28.10.2016, 13:45

Ergänzung: Natürlich setzen alle Gleichungen zur Lorentz-Transformation und Drehung das Zusammenfallen der Ursprünge der Koordinatensysteme K und K′ einschließlich der Zeitnullpunkte voraus:

x(t=0) = x'(t'=0) =0

etc..

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  Der Sinn des Minkowskiraumes besteht gerade darin, dass es " die Welt " umfasst, wie das Dings in der älteren Literatur heißt. Also das gesamte Universum; alles, was jemals war, ist und sein wird.

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Kommentar von SlowPhil
28.10.2016, 03:32

Ja, aber ich vermute, der FS meint eigentlich, ob man zur Verdeutlichung der »Zeitdilatation« einerseits und der »Längenkontraktion« andererseits wie im Wikipedia-Artikel jeweils ein eigenes MD brauche.

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