Kann man x = 1 / ( a + b )^2 - 1 / ( a - b )^2 zusammenfassen, sodass man nicht mehrmals dieselbe Variable auf dem Blatt stehen hat?

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5 Antworten

Hallo,

Du könntest zunächst den Bruch auf einen Nenner, nämlich den Nenner
(a+b)²*(a-b)² bringen.

Wenn der etwas umgeformt und umsortiert wird, steht da
(a+b)*(a-b)*(a+b)*(a-b)=(a²-b²)*(a²-b²)=(a²-b²)²

Nun mußt Du nur noch die erste 1 mit (a-b)² und die zweite 1 mit (a+b)² multiplizieren.

So bekommst Du
[(a-b)²-(a+b)²]/(a²-b²)²

Oben kannst Du ausmultiplizieren und zusammenfassen:

a²-2ab+b²-a²-2ab-b²=-4ab

Also:

x=-4ab/(a²-b²)²

Herzliche Grüße,

Willy

Volens 22.01.2017, 00:20

Du also auch - gerade in dieser Minute.

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leitz10 22.01.2017, 00:27

Ich danke für die Antwort. Aber ich habe nach einer Möglichkeit gesucht bestmöglich nur noch 1 Mal a und 1 Mal b in meiner Gleichung zu haben. Aber so langsam glaubenh, dass das nicht geht.

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Willy1729 22.01.2017, 00:31
@leitz10

Ich sehe jedenfalls nicht, wie das gehen sollte - und Volens offenbar auch nicht.

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x = 1 / ( a + b )^2 - 1 / ( a - b )^2

Kann man, aber ob es sehr viel bringt, ist fraglich. Man kann allerdings ein wenig Bruchrechnung üben.

http://dieter-online.de.tl/Br.ue.che-1.htm

Zuerst findet man den Hauptnenner. Es liegt auf der Hand, dass es
(a+b)²(a-b)²  = (a² - b²)²     sein muss, denn die Nenner sind teilerfremd. Dann nach der 3. binom. Regel zusammenfassen.

x = ((a-b)² - (a+b)²) / (a² - b²)²                       |  Zähler ausmultiplizieren
x = (a²-2ab+b² -(a² + 2ab + b²)) / (a² - b²)²    | zusammenfassen
x = - 4ab / (a² - b²)²


Willy1729 22.01.2017, 00:25

Ich glaube, sonst läßt sich nicht viel anderes Gescheites damit anfangen. Allerdings sind immer noch zwei a und zwei b dabei. Dafür gibt es statt zweimal 1 nur noch eine 4.

Außerdem ist jetzt ein Bruchstrich weniger.

Willy

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leitz10 22.01.2017, 00:31

Danke für die Antwort. Aber wirklich weiterhelfen tut es mir auch nicht. Muss nämlich a und b jeweils durch einen etwas längeren Term ersetzen, da wäre es hilfreich, wenn a und b nur jeweils 1 Mal vorkommen, aber ich glaube, dass das nicht anderes als so geht.

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Willy1729 22.01.2017, 00:45
@leitz10

Naja, ein wenig übersichtlicher ist es immerhin geworden.

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leitz10 22.01.2017, 00:56

Das stimmt auch wieder. Was ich mich frage ist, warum man in der Mathematik nicht diesen Term weiter zusammenfassen kann, obwohl er mehrmals dieselben Variablen hat, also was ihn so besonders macht, aber das ist denke ich ein Thema für sich.

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leitz10 22.01.2017, 01:02

Ich werde mich jetzt mal hinsetzen und überprüfen, wie sich das Ergbnis verhält, wenn sich die Variablen ändern. Vielleicht kann ich daraus eine Gesetzmäßigkeit ableiten,und den Term wirklich vereinfachen. Das interessiert mich jetzt.

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Jein,

es ist möglich den Ausdruck auf einen Bruch zusammenzufassen

x = -4ab / [(a²-b²)²]

(a+b)^2 und (a-b)^2 sind binomische Formeln die du ausrechnen und zusammenfassen könntest.

leitz10 22.01.2017, 00:07

Ja schon, aber dann hätte ich ja noch öfter diesselbe Variable auf meinem Blatt stehen. Ich wollte, dass es ein bisschen "professioneller" auf meinem Blatt aussieht, in dem ich das Ergebnis so kürze, sodass ich möglichst wenige Male die selbe Variable schreiben muss.

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Christallize 22.01.2017, 00:10

Ja stimmt. Naja ich bin wahrscheinlich noch nicht gebildet genug dafür oder einfach nur müde xD gute Nacht :)    ps: krass dass du so spät freiwillig rechnest.

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Dein Fall ist ein spezieller !!!

Nicht nur  (a + b)^2   und   (a - b)^2  sind binomische Formeln, nein sogar das Produkt beider !!

--> (a + b)^2 * (a - b)^2 = [(a+b)*(a-b)]^2

Wir können ja mal die beiden Brüche zu einem Bruch zusammenfassen:

--> x = 1/(a+b)² - 1/(a-b)²  = [(a-b)² - (a+b)²] / [(a+b)²*(a-b)²]

wobei wir nun die binomischen Formeln verwenden:

(a+b)² = a² + 2ab + b²

(a-b)² = a² - 2ab + b²

(a+b)*(a-b) = a² - b²

Einsetzen dieser Ausdrücke liefert uns dann:

--> x = [ a² -2ab + b² - (a² + 2ab + b²)] / (a² - b²)²

Weiteres zusammenfassen liefert:

--> x = (-4ab)/(a² - b²)²

Wobei es eigentlich kompakter nicht geht. Man könnte zwar jetzt erneut noch einmal die binomische Formel im Nenner auflösen, das macht das ganze aber leider nicht schöner:

--> x = (-4ab)/(a^4 - 2(ab)^2 + b^4)


Insgesamt ist also die "kompakteste" Version:


x = (-4ab)/(a² - b²)²


leitz10 22.01.2017, 00:36

Danke für die Antwort. Anscheinend geht es wirklich nicht weiter. Schade.

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poseidon42 22.01.2017, 00:56
@leitz10

Ohne eine weitere Abhängigkeit zwischen a und b ist es leider nicht möglich an dieser Stelle noch weiter zusammenzufassen, dass du dort nur noch eine Variable stehen hast. Da kann man leider nichts weiter machen.

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