Kann man schwarze Löcher ohne die Relativitätstheorien erklären?

9 Antworten

Kann man schwarze Löcher ohne die Relativitätstheorien erklären?

Kurz gesagt: Nein.

Das bedeutet natürlich nicht, dass man die gesamte Allgemeine Relativitätstheorie (ART) drauf haben muss, um ein Schwarzes Loch (SL) zu beschreiben, aber gewisse Grundideen muss man schon verstehen.

Die erste Idee, dass sich ein Stern der Masse M durch seine eigene Schwerkraft unsichtbar macht, hatten unabhängig voneinander John Michell und Pièrre Simon de Laplace schon im 18. Jahrhundert.

Sie gingen natürlich von der Newton'schen Mechanik aus, und zudem von einen Korpuskelmodell des Lichts. Das Tempo, mit dem sie sich im freien Weltraum bewegen und das wir heute mit c bezeichnen, dachten sie als variabel.

Entscheidend für die Idee der Unsichtbarkeit ist nicht die Gravitationskraft, sondern das Gravitationspotential

(1)    V = –G·M/r

(G Gravitationskonstante, r Entfernung vom Massenschwerpunkt O) des Sterns außerhalb seiner selbst (also r>R, R Radius des Sterns). Angenommen, von r aus schieße man ein Projektil mit dem Mündungstempo v in den Weltraum.

Das hat die spezifische kinetische Energie v²/2 und bei r natürlich die spezifische (Newton'sche) Gesamtenergie

(2.1)    v²/2 + V = v²/2 – G·M/r,

und die muss positiv sein, wenn das Projektil nicht an einem Umkehrpunkt zum Stillstand kommen und zurückfallen soll. Somit muss r also mindestens

(2.2)    r[esc](v) = 2·G·M/v²

sein, damit das Projektil entkommt. Michell und Laplace setzten diese Mündungsgeschwindigkeit gleich c. Sollte also R<2GM/c² sein, wäre er nicht sichtbar - nicht aus jeder beliebiger Entfernung. Die Gravitationsfeldstärke an der Oberfläche muss dafür gar nicht so stark sein, wenn M nur groß genug ist und R eben auch.

Um so etwas populärwissenschaftlich zum SL zu erklären, wird noch ad hoc hinzugefügt, dass nichts schneller sei als das Licht, und deshalb sei die Kugelfläche r=2GM/c² ein Ereignishorizont.

Das ist aber überhaupt nicht mit der Newton'schen Mechanik verträglich. Die kennt keine „Tempolimits“ und auch keine Ereignishorizonte.

Eine Bemerkung zu r

Übrigens definiert r vor allem eine „Umkugel“ um O mit der Fläche 4πr². Die Beschreibung als Entfernung von O ist im Gravitationsfeld größer als r oder, im Fall eines SL, gar nicht sauber definiert. Das liegt an der so genannten Krümmung der Raumzeit (zu der Zeit und Raum zusammengefasst werden müssen).

Damit ist eine Verzerrung der inneren Geometrie gemeint. Vergiss also das Laken mit der Ausbeulung nach unten, in die eine Murmel hineinrollt, weil die Erde sie da hineinzieht. Das ist ein falsches Bild.

Schwerkraft und Trägheit

Man muss sich zumindest darüber im Klaren sein, dass Gravitation nicht einfach eine Kraft ist wie z.B. die elektrische Anziehungskraft auch.

Schon Galilei fiel auf, dass im Schwerefeld der Erde alle Körper gleich stark beschleunigt werden und die Kraft, die ein Körper der Masse m erfährt, somit proportional zu m ist (deshalb wird Masse auch gern fälschlich als Gewicht bezeichnet). Das hat sie mit den Trägheitskräften gemein.

Das führte Einstein zur Formulierung des Äquivalenzprinzips: Ein Beobachter erlebt in seinem beschleunigten Beobachter die Trägkeitskraft genau wie Gravitation und umgekehrt.

Dementsprechend beeinflusst die Gravitation alles, eben auch Licht. Schließlich würde der beschleunigte Beobachter ja auch das sich eigentlich geradlinig ausbreitende Licht als relativ zu sich selbst nach „unten“ abgelenkt „sehen“. Ein Lichtsignal, das sich in oder gegen Richtung der Beschleunigung bewegt, kommt aufgrund des Doppler-Effekts mit veränderter Frequenz an.

Nach dem Äquivalenzprinzip muss also auch Gravitation Licht ablenken und die Frequenz verändern. Deshalb lassen sich Gravitaionsfelder auch als Krümmung der Raumzeit beschreiben.

Frequenzverschiebung und Zeitdilatation

Frequenz aber ist ein Maß der Zeit. Wenn ich in der Nähe einer Antenne, die eine 1MHz-Strahlung erzeugt, in 10 Minuten = 600 Millionen Schwingungen einen Kaffee trinke, muss ein Beobachter an einem anderen Ort mich ebenfalls in 600 Millionen Schwingungen den Kaffee trinken sehen, und wenn er das frequenzverschoben sieht, gilt das natürlich auch für den Vorgang des Kaffeetrinkens.

Man kann sich dies auch mit der Quantentheorie des Lichts klar machen. Max Planck hatte 1900 erkannt, dass Licht einer Frequenz f nur in Portionen 

(3.1)    ϵ[em] = h·f

(h Planck'sches Wirkungsquantum), den sog. Photonen aufgenommen werden kann. Ein Photon hat keine Masse, aber man kann ihm die „Effektivmasse“

(3.2)    µ = ϵ[em]/c² = h·f/c²

zuordnen, und somit hat es am G-Potential V die potentielle Energie

(3.3)   ϵ[pot] = h·f·V/c².

Energieerhaltung fordert, dass sich die Photonen-Gesamtenergie

(4.1)    ϵ = ϵ[em] + ϵ[pot] = h·f·(1 + V/c²) = (h/T)·(1 + V/c²)

(T Schwingungsdauer) nicht ändert, also

(4.2)    (h/T₁)·(1 + V₁/c²) = (h/T₂)·(1 + V₂/c²)
(4.3)    T₂/T₁ = (1 + V₂/c²)/(1 + V₁/c²)

ist. Die Schwingungsdauer nimmt beim „Aufstieg“ zu und beim „Abstieg“ ab. Das heißt nach obiger Überlegung aber auch, dass jeder Vorgang bei V₁ für einen Beobachter auf V₂ um den durch (4.3) gegebenen Faktor länger dauert. Man kann auch sagen, die Zeit vergeht dort um diesen Faktor langsamer.

Ereignishorizont

Wenn wir V₁ → -c² gehen lassen, wird der Nenner in (4.3) immer kleiner. Der unerreichbare Grenzwert, wo der Nenner tatsächlich 0 werden würde, ist der Ereignishorizont.

Übrigens haben nicht nur Schwarze Löcher Ereignishorizonte. Theoretisch kannst Du künstlich einen hinter Dir erzeugen, indem Du unaufhörlich konstant beschleunigst (nach der eigenen Uhr). Du kannst Dir dabei vorstellen, dass alles in einem homogenen Gravitationsfeld an einem vorbei fällt und nur Du Dich dem entgegenstellst.

Dabei gibt es ein erstes Lichtsignal, das Dich nicht mehr erreicht. „Aus unserer Sicht“ (wir machen die Beschleunigung nicht mit) kommt es Dir immer näher. Dieses Lichtsignal bzw. die Raum-Zeit-Fläche, entlang derer es sich ausbreitet, stellt den Ereignishorizont dar.

Wir durchqueren irgendwann zwangsläufig diesen Horizont, nach unserer eigenen Uhr, doch für Dich bleibt das immer Zukunft.

Spätestens allerdings, wenn Dir die Puste zum Beschleunigen ausgeht oder Du auf Schubumkehr schaltest, weil Du Dein Reiseziel mit geringer Geschwindigkeit erreichen willst, hört der Horizont auf, einer zu sein.

Bei einem SL ist das anders.

Schwarzschild-Feld

Echte Gravitationsfelder sind inhomogen. Sie nehmen nach außen hin ab, wie man schon an (1) sieht. Nicht zuletzt deshalb lassen sie sich nicht einfach wegtransformieren.

Die Verzerrung lässt sich im kugelsymmetrischen Fall durch einen Verzerrungsfaktor, den sogenannten Schwarzschild-Faktor

(5.0)    q = := √{1 – 2GM/(c²r)} = √{1 – r[s]/r}

beschreiben, wobei

r[s] := 2GM/c

auch der Schwarzschild-Radius heißt. Er ist allerdings nicht buchstäblich ein Radius im Sinne eines Abstandes von O, sondern steht nur noch für eine Kugelschale der Fläche 4π·r[s]². Schließlich ist der Raum ja verzerrt, ein kleiner radialer Abstand von r+dr bis r>r[s] ist

(5.1)     dr/q = dr/√{1 – r[s]/r} > dr.

Auch die Zeit ist natürlich von der Verzerrung betroffen. Ist dt eine Zeitspanne, wie sie ein „unendlich weit“ entfernter Beobachter messen würde, und dτ eine von einem auf einer durch r>r[s] gegebene Kugelschale ruhenden Beobachter gemessene Eigenzeit, so ist nach Schwarzschild

(5.2)    dτ = dt·q = dt·√{1 – r[s]/r} < dt.

Das können wir umformen und mit (4.3) vergleichen:

(6.1)    dt/dτ = 1/√{1 – r[s]/r} = 1/(1 + V(r)/c²)
(6.2)    √{1 – r[s]/r} = 1 + V(r)/c²
(6.3)    V(r) = c²(√{1 – r[s]/r} – 1)

In einem großen Abstand r ≫ r[s] gilt die Näherung

(6.4)    V(r ≫ r[s])  ≈ c²(1 – r[s]/sr) – c² = –c²r[s]/2r = –GM/r,

also (1).

Für r=r[s] hingegen - zufällig der gleiche „Radius“ wie in der obigen Newton'schen Rechnung mit der Fluchtgeschwindigkeit - wird q=0, und das bedeutet Ereignishorizont. Dort bleibt aus Sicht des entfernten Beobachters die Zeit stehen.

Das Innere ist genaugenommen für den äußeren Beobachter gar nicht existent. Es ist eigentlich ein Vorgang, nämlich der des totalen Kollaps, den man aber allenfalls miterleben kann, wenn man hineinspringt. Für den äußeren Beobachter liegt der ewig in der Zukunft.

Hey,

folgende Erklärung ist physikalisch richtig und halbwegs anschaubar:

Auf der Erde sind alle Gegenstände gravitativ an sie gebunden. Wir bleiben aufgrund der Schwerkraft der Erde hier auf dem Boden und heben nicht einfach unwillentlich nach oben ab. Das Gravitationsfeld der Erde lässt sich mit folgender Formel beschreiben:

g = G * M / r²

Dabei ist g die Gravitationsbeschleunigung, G die Gravitationskonstante, M die Erdmasse und r ihr Radius. Es ist unschwer zu erkennen, dass die Schwerkraft der Erde im wesentlichen durch das Verhältnis von Masse pro Radius definiert ist!

Wenn man sehr viel Masse M, auf einen kleinen Radius r presst, wird die Schwerkraft g immer größer. Jetzt ist die Vorarbeit geschafft.

____________________________________________________________

Möchte man nun einen physikalischen Körper aus dem Schwerkraftfeld einer Masse herausbringen muss dazu ein Energieaufwand geleistet werden. Wir müssten zb. einen Ball mit einer bestimmten Mindestgeschwindigkeit nach oben werfen damit er nicht mehr auf die Erde zurückfällt und damit den Einflussbereich der Erdgravitation verlässt.

Diese Geschwindigkeit wird Fluchtgeschwindigkeit genannt. Jeder Körper hat eine von seinem Gravitationsfeld abhängige Fluchtgeschwindigkeit (die der Erde liegt bei 11,2 Km/s). 

Ein Schwarzes Loch ist schließlich ein astronomisches Objekt bei dem so viel Masse M auf einen so kleinen Radius r gepresst wurde, dass dessen Fluchtgeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit c ist!

Deswegen kommt nicht einmal Licht aus dem Schwerkraftfeld eines Schwarzen Lochs heraus. Nichts hat genug Energie um die Fluchtgeschwindigkeit zu erreichen die nötig wäre um das Loch wieder zu verlassen. So ist es physikalisch definiert. Für alles weitere wichtige empfehle ich dir dieses Video:

https://youtube.com/watch?v=oEOBAQjkmFI

Lg Nikolai

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Das Gravitationsfeld der Erde lässt sich mit folgender Formel beschreiben:

g = G * M / r²

Das ist freilich nur der Betrag der Gravitationsfeldstärke. Für die von Dir angeführte Fluchtgeschwindigkeit ist aber das Gravitationspotential

(1)    V = –G·M/r

relevant. Damit ein von r aus hochgeworfener bzw. hochgeschossener Gegenstand beliebig weit kommen kann, muss er bei Abschuss die spezifische kinetische Energie

(2)    E[kin]/m = ½·v² = +GM/r

haben, woraus sich die Fluchtgeschwindigigkeit

(3)    v[esc](r) = √{2GM/r}

ergibt. Umgekehrt ist die geringste Entfernung r, aus der heraus ein mit v abgeschossener Körper sich beliebig weit von Gravitationszentrum entfernen kann,

(4)    r[esc](v) = 2GM/v².

Diese Überlegung führte schon Mitchell und Laplace zu der Idee, dass sehr schwere und zugleich sehr kompakte Körper unsichtbar sein könnten, allerdings auf der Grundlage der Korpuskulartheorie des Lichts, verbunden mit der Vorstellung, diese ließen sich abbremsen.

Die Gravitationsfeldstärke an der Oberfläche bräuchte dafür übrigens gar nicht extrem stark zu sein, wenn nur die Masse und der Radius groß genug wären.

Dieses Modell beschreibt jedoch keine Schwarzen Löcher, denn aus einer Entfernung r < 2GM/c² würde sich ein Lichtsignal zwar nicht mehr unendlich weit entfernen können, aber immer noch bis zu einem Umkehrpunkt, in Abhängigkeit von r. Die altklassische Mechanik nach Newton kennt keine Ereignishorizonte.

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@SlowPhil

Deine Argumentation mag physikalisch und mathematisch begründet sein, aber ist sie auch adäquat für ein Kurzreferat einer 11. Klasse?

Sorry, aber der Fragesteller wird mit dieser Erklärung unabhängig von ihrer physikalischen Richtigkeit wahrscheinlich nicht viel anfangen können zumal er explizit nach einer "einfacheren Erklärung" gesucht hat...

Lg

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Korrekt erklären kann man sie ohne die ART jedenfalls nicht.

Verständlich zu erklären, ist eine andere Sache.
Um verständlich zu sein, muss man nicht 100%ig korrekt sein, man darf nur nie unkorrekt sein.

Einem Laien wird sich die ART nie korrekt erschließen. Dafür ist die Mathematik dahinter einfach zu schwer.
Warum sind wohl 10 Jahre vergangen zwischen der SRT und der ART?

Die SRT leite ich dir jederzeit her, dafür reicht Abi-Niveau, und je nach Form ein Nachmittag, ein Wochenende oder eine Woche.
Bei der ART werfe ich vorsorglich das Handtuch.

Vielleicht kennst du die Bilder von den Gummimatten, die die Krümmung des Raumes durch die Gravitation darstellen (sollen)?
Wenn die Wand senkrecht ist, dann handelt es sich um ein Schwarzes Loch.
So stell ich mir das jedenfalls vor.

Ist es möglich die Gesamtmasse aller schwarzen Löcher innerhalb unserer Galaxis zu bestimmen?

Ich halte diese Frage wegen folgendem Phänomen für wichtig:

Soweit ich weis dreht sich jede Galaxis, Zentrifugalkraft und Massenanziehung gleichen sich aus, denn sonst würde ja eine Galaxis entweder in einem schwarzen Loch zusammenstürzen oder sie würde durch die Zentrifugalkraft in den intergalaktischen Raum auseinander getrieben.

Aufgrund irgend welcher wissenschaftlichen Ermittlungen (die ich nicht kenne, ich bin kein Astrophysiker) hat man nun die Gesamtmasse der leuchtenden Materie (also Materie, die mit Licht wechselwirkt) von unserer Galaxis ermittelt und festgestellt, das deren Masse viel zu klein sei um ausreichend Anziehungskraft auszuüben um unsere Galaxis zusammen zu halten. Mit anderen Worten: Die Zentrifugalkraft ist größer als die Gravitation.

Um das Phänomen zu erklären spricht die Wissenschaft heute von "dunkler Materie", also Materie, die keine Wechselwirkung mit Licht hat. Diese liefere nun die Masse, die für die "fehlende" Gravitation erforderlich sei.

Die Fragestellung verfolgt mich nun schon einige Zeit, weswegen ich nun folgende Frage aufwerfe:

Könnte das Gravitationsdefizit nicht durch die Gesamtmasse aller schwarzen Löcher in der Galaxis gedeckt werden? Schwarze Löcher haben so gut wie keine Wechselwirkung mit Licht, sind jedoch gravitativ hoch wirksam.

Um an diesem Punkt weiter zu rechnen wäre es erforderlich die Gesamtmasse aller schwarzen Löcher in unserer Galaxis zu kennen.

Ist solches schon berechnet worden und wie sähe dann das Ergebnis hinsichtlich der Gesamtmasse (Materie, die mit Licht wechselwirkt und die Massensumme aller schwarzen Löcher) aus. Könnten dann Zentrifugalkraft und Gravitation im Gleichgewicht sein?

Oder umgekehrt: Wäre dies ein Denkansatz die Gesamtmasse aller schwarzen Löcher in unserer Galaxis zu bestimmen?

Astrophysik ist eines meiner Hobbys.

Auf die Antworten bin ich sehr gespannt!

Besten Dank Eure Antworten im Voraus!

JensPeter

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