Kann man sagen, dass es für jedes mathematische Problem eine Lösung gibt, wir haben sie nur vielleicht noch nicht gefunden?

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8 Antworten

Es kommt darauf an, was Du unter Problem und Lösung verstehst:

"Nenne eine ganze Zahl n mit n²=2" hat keine Lösung, ebenso wie das LGS von Rubezahl2000. Solche Probleme gibt es zuhauf.

Mathematiker verstehen unter Problemlösung deshalb: "Gib die Menge aller Lösungen an". Dann sind obige Probleme längst gelöst: 𝕃=∅.

Nun gibt es aber noch ein paar Probleme, zu denen man bisher vergeblich eine Lösung gesucht hat. Beispiel:

    "Gibt es unendlich viele Primzahl-Zwillinge (p, p+2 beide prim)?"

Die schönste Lösung wäre eine Formel, mit der man alle solchen Zwillinge berechnen kann. Aber auch ein abstrakter Beweis, dass hinter jeder Zahl n noch irgendwo mindestens ein solcher Zwilling existiert, wäre akzeptabel. Ebenso, wenn jemand indirekt zeigen könnte, dass es nur endlich viele gibt. Er müsste nicht einmal sagen, wieviele es sind.

Bestimmt arbeiten viele Leute an diesem Problem. Wird es also irgendwann auch gelöst werden? Leider ist das nicht sicher. Es gibt Probleme, zu denen bewiesen wurde, dass sie nicht entscheidbar sind, d.h. dass es gibt grundsätzlich keinen Algorithmus, der das Problem in endlicher Zeit löst.

Angenommen, jemand beweist nun, dass das Problem "Finde den nächsten Primzahl-Zwilling hinter n" nicht entscheidbar ist. Dann wäre eine Lösung obiger Aufgabe wahrscheinlich unmöglich.

Das Beste, was man dann noch erwarten könnte, wäre: "Es gibt ein größtes Zwillingspaar, aber man kann es nicht einmal abschätzen" oder "Es gibt unendlich viele, aber man kann keine obere Schranke für deren Abstände angeben". Bei beiden läuft mir ein Schauer über den Rücken; aber am gruseligsten wäre ein Beweis für "Das Problem kann nicht gelöst werden". Würdest Du das noch als Lösung anerkennen?

Nicht zu verwechseln ist das mit folgenden nicht beweisbaren Aussagen:

  • Axiome folgen nicht aus anderen Axiomen. Du kannst sie für wahr oder falsch halten. Beides geht und führt zu einer andern Mathematik (z.B. Parallelenaxiom, Auswahlaxiom).
  • Paradoxa sind Aussagen, die mit dem System nicht verträglich sind. Egal, ob Du sie für wahr oder falsch nimmst, führt das zu Widersprüchen (z.B. "Dieser Satz ist falsch").

Auch wenn ich mich hier auf dünnem Eis bewege und Beweisbarkeit mit Entscheidbarkeit wild vermische, wird hoffentlich klar, dass das mit dem "wir haben die Lösung nur noch nicht gefunden" doch nicht so einfach ist. Gibt es denn eine Lösung, wenn man sie prinzipiell nicht angeben kann? Darüber lässt sich vortrefflich philosophieren.

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Kommentar von grtgrt
20.10.2016, 10:58

Dein Beispiel " Dieser Satz ist falsch " ist recht gut: Er stellt eine logische Gleichung dar, die keine Lösung hat (Details sind erklärt im letzten Teil der Seite http://greiterweb.de/spw/Denkfehler.htm ).

Ein noch einfacheres Beispiel wäre die Gleichung  1/x = 0  .

Auch sie hat keine Lösung.

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Schöne Frage!

Ich würde sagen: Ja!

Es gibt diverse ungelöste Probleme und Vermutungen in der Mathematik wie beispielsweise die Goldbachsche Vermutung.

Die Goldbachsche Vermutung wurde 1742 von Christian Goldbach aufgestellt. Niemand konnte sie bis heute beweisen oder widerlegen. Deshalb ist es auch nur eine Vermutung.

Kurz: Die Goldbachsche Vermutung besagt, dass jede natürliche Zahl, die größer als 2 ist, die Summe zweier Primzahlen ist.

Also formal: ∀x∈ℕ ∃m,n∈ℙ: m + n = x

ℙ stellt dabei die Menge der Primzahlen dar.

Die Angabe eines Gegenbeispiels, also einer Zahl, für die das nicht gilt, würde reichen, um die Goldbachsche Vermutung zu widerlegen. Ich glaube, darauf ist von einigen amerikanischen Instituten für Mathematik sogar ein ziemlich hohes Preisgeld ausgesetzt.

Die Vermutung kann definitiv bewiesen/widerlegt werden, nur hat es bis heute noch kein Mathematiker der Welt geschafft.

Es gab zwar manchmal Mathematiker, die sagten, sie hätten die Vermutung bewiesen, ihr Beweis enthielt aber einen Fehler und war somit ungültig.

Ich stimme also folgendem zu:

"Jede mathematische Aussage kann bewiesen oder widerlegt werden." (das ist außerdem Voraussetzung für eine Aussage)

Du sprichst allerdings von mathematischen Problemen. Was meinst du damit konkret? Meinst du mathematische Aussagen? ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, nur her damit! :) 

LG Willibergi

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Kommentar von Physikus137
15.10.2016, 19:43

"Jede mathematische Aussage kann bewiesen oder widerlegt werden"

Aber genau das ist nicht der Fall, wie Kurt Gödel zeigen konnte!

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MERKE : Die Mathematik liefert allgemeine Lösungen,die dann irgendwo angewendet werden.

bei komplizierten Problemen ist die Mathematik aber schnell am Ende.

Die Behandlung des Problems erfolgt dann "Numerisch",Progamme,Computer.

Beispiel : Der Start einer Rakete vom Erdboden aus.

Man programmiert einen Computer,der dann "Schritt für Schritt" Geschwindigkeit ,Höhe und zurückgelegten Weg berechnet.

Nehmen wir mal die Schrittweite t=0,1 Sekunde.

In diesen Intervall wird die Beschleunigung als konstant genommen.Für

t= 0,1 s werden dann die Werte berechnet.Dies geht dann so weiter,bis zum Brennschluß der Rakete.

Je kürzer das Zeitintervall t ,um so genauer wird die Rechnung.

Man könnte auch t=0,0001 s wählen.Der Computer braucht dann eben etwas länger.

Beispiel : Berechne die Summe zwischen n=3 und n= 125

Formel (- 2)^n * ( Wurzel (n) + n + 1/n)

Dies kann man mit den Computer ganz einfach berechnen,indem man eine Schleife programmiert

Programm Start

0=E

For 3=n to 125 Step 1

(-2)^n *(Wurzel(n) + n +1/n = c

C+E =F

F=E

Next

E Ausgabe

Stop

Dies ist doch nun eine sehr einfach Programmierung.

Versuch diese Aufgabe mal mathematisch zu lösen.

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Kommentar von Sims3Suchti16
15.10.2016, 22:46

Aber der Computer macht doch nichts anderes als die mathematischen Befehle einer Person auszuführen und er wurde auch von einer solchen programmiert. Ein Computer kann bestimmt nicht mehr als ein Mensch, vielleicht nur schneller oder in größerem Rahmen. Ohne Menschen gäbe es ja keine Computer, wir haben ihnen ja alles gelernt, das sie können. 

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Klipp und klar: Nein. Das wurde nach der Einführung der Mengenlehre in dem Bereich mathematischer Logik klargestellt. Seit Kurt Gödel (1930–1) wurde festgestellt, dass egal wie wir unsere Prinzipien auf beschreibbare (rekursiv präsentierte) Weise auslegen, es immer Sätze gibt, die ausgehend von einem fixierten mathematisch theoretischen Fundament sich weder beweisen noch zurückweisen lassen. Genauer genommen, existiert für jedes solche „rekursiv präsentierte“ Fundament viele (sogar unendlich viele—sogar Kontinuum viele!) Universen, die das Fundament zwar erfüllen aber paarweise verschieden sind.

Dank Cohen (1963), Paris, Harrington, et al. wurde sogar gezeigt, dass es sich dabei nicht bloß um pathologische Probleme handelt (welcher sich Gödel bediente, um sein Unvollständigkeitstheorem zu beweisen), sondern um echte mathematische Probleme aus der AnaIysis, Zahlentheorie, usw.

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Kommentar von kreisfoermig
15.10.2016, 20:48

Die Haltung—jede mathematische Frage habe eine eindeutige Antwort,

»[…]Da ist das Problem, suche die Lösung. Du kannst sie durch reines Denken finden; denn in der Mathematik gibt es kein Ignorabimus![…]Wir müssen wissen, wir werden wissen![…]«

—wurde bemerkenswert von David Hilbert (Paris, 1900) verfochten. Dieser Ansicht verpassten Gödel und Turing den Todesstoß, und Cohen, et al. sozusagen nahm sie gnadenlos auseinander.

Heute gehört es zum Grundwissen, dass schwierige Fragen evtl. weder beweisen noch zurückgewiesen werden können und somit unabhängig sein können; nicht nur nach Beweisen sondern nach Unabhängikeitsbeweisen wird gesehnt.

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Kommentar von Sims3Suchti16
15.10.2016, 22:42

Magst du mir das vielleicht nochmal erklären bzw. Beispiele nennen? Hab das nicht ganz verstanden. Wie kann man wissen, dass man nie die Antwort zu einer Frage finden wird bzw. eine Aussage weder beweisen noch widerlegen kann? 

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Nein, das kann man nicht.

Es gibt z.B. jede Menge von Gleichungssystemen, die keine Lösung haben.

Schon die Gleichung  1/x = 0  hat keine Lösung.

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Nein!
Z.B. das lineare Gleichungssystem
(1)  a+b=1
(2)  2a+2b=3
hat KEINE Lösung und wird NIE eine Lösung haben ;-)

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Kommentar von Sims3Suchti16
15.10.2016, 18:15

Stimmt eigentlich, aber könnte man dann nicht rein theoretisch einfach "Lösungen erschaffen", so wie mit i? Oder ist die Aussage dann trotzdem falsch?

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Kommentar von KDWalther
15.10.2016, 18:18

Das sehe ich anders :-)

Das Problem besteht bei einem LGS doch darin herauszufinden, OB es eine Lösung hat. Und wenn man feststellt: es hat keine Lösung, ist das Problem gelöst!

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Kommentar von Willibergi
15.10.2016, 19:04

Bei deinem Gleichungssystem entsteht der Widerspruch 0 = 1.

Das mag auf den ersten Blick unlösbar erscheinen, kann aber durchaus zutreffen.

Wenn wir uns in ℤ₁ bewegen, also der Menge aller Restklassen modulo 1, dann trifft diese Aussage zu und das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, da eine wahre Aussage entsteht.

Denn: 0 ≡ 1 (mod 1)

LG Willibergi

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Es wird in der Mathematik immer Aussagen geben, die nicht bewiesen oder widerlegt werden können.

Das hat Kurt Gödel in den 1930ern gezeigt.

➽ Gödelscher Unvollständigkeitssatz. 

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Kommentar von ProfFrink
15.10.2016, 18:29

Es wird in der Mathematik immer Aussagen geben, die nicht bewiesen oder widerlegt werden können.

.. und darf man ergänzen, dass es sich dabei um Sätze handeln kann, die trotzdem wahr sind? Also ich meine mathematische Methoden, die trotzdem in der Praxis angewandt werden können und funktionieren?

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Irrationale Zahlen die das  Pi sind nach derzeitigem Kenntnisstand nicht endgültig festzulegen.

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Kommentar von Willibergi
15.10.2016, 19:07

Doch, klar!

Das Symbol π steht für die Kreiszahl Pi, die Zahl, die das Verhältnis zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises angibt.

Sie ist eindeutig festzulegen, und zwar mit π. Zwar ist die Dezimaldarstellung unendlich lang und kann nicht auf alle Nachkommastellen genau angegeben werden, aber das ist erstmal Nebensache.

Es gibt verschiedene Darstellungen für Pi, von unendlichen Summen über Verhältnisse bis zu Integralen.

LG Willibergi

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