Kann man mit der Integralfunktion überhaupt rechnen?

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3 Antworten

Vorher habt ihr doch wohl die Stammfunktionen durchgesprochen, Daraus geht schon mal hervor, dass die Integralrechnung so eine Art Umkehrrechnung des Differenzierens ist. Für die nämlich Potenzen, für die ihr im Wesentlichen die Ableitungen bestimmt habt (a*x^n), lernt iht jetzt die Integralauflösungen.

Das dient dazu, Flächen unter Integralen auszurechen, und ist Grundlage für viele Minimaxaufgaben, die nur mit Differentialrechnung nicht zu lösen sind. Weiterhin kannst du, wenn du ein Integral drehst, Volumenbestimmungen von Körpern machen, an die du sonst rechnerisch nicht heran kommst.

Das ist doch schon mal was, oder?

dongodongo 04.09.2014, 18:43

Echt gut, bis auf ein Integral drehen, da musste ich leicht schmunzeln und habe das auch ausprobiert. Ein gedrehtes Integral von x^2 über [0;1] nach dx hat mir leider kein Volumen ausgegeben ;)

Gemeint war das Folgende: Indem man die Symmetrie des Integrationsbereiches ausnutzt (bei der Integrationstheorie von Funktionen mehrer Variablen gibt es nur noch das bestimmte Integral), kann man eine einfachere Maßfunktion wählen, bi Rotationskörpern ist das i.A. das "Maß" 2\pi\rho d\rho dx, wobei rho_max = f(x) gewählt wurde, \rho_min = 0. Dies Integriert man nun fröhlich von x_0 bis x_1.

VG, dongodongo.

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Volens 04.09.2014, 18:47
@dongodongo

Wie du schon richtig herausgearbeitet hast, ist die gedrehte Fläche gemeint. Denn bei der Schülerschaft wird gern die Fläche als das Integral gesehen, das man dann nur noch um die Abszisse dreht, um einen Rotationskörper zu erhalten.


Dein "Schmunzelintegral" ist dann eben eine Vase ohne Fuß.

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zu "der Integralfunktion":
Es gibt nicht eine, sondern über 100 Integralfunktionen!
Primitive Polynome (siehe Beispiele von Spielkamerad) kann man durch exakte symbolysche Integration exakt explizit berechnen.

Unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php
werden etwa 80% der komplizierten Funktionen per hypergeometrischen Funktionen (unedliche Summen) berechnet, da dieser Algorithmus für bestimmte Bereiche schnell und genau ist.

Numerische Integration (Algorithmus mit Summen) sind meist relativ ungenau und langsam. Es gibt auch besser optimierte numerische V. als Ober & Untersumme: Simpson, Gauss, tanh-Methode...

Fast jede Funktion hat verschiedene Algorithmen (Schreibweisen):
- Integralschreibweise
- Summenschreibweise (Reihenentwicklung)
- Herleitung aus hypergeometrischen Funktionen (auch AppellF1...F4)
- Herleitung aus MeijerG-Funktionen

Je nach Konvergenzgeschwindigkeit (Zeit um n Nachkommastellen zu berechnen) und Wertebereich ist mal der eine und mal ein Anderer Algorithmus geeigneter!

IntegralxPowX(x) kann für kleine Argumente aus der ExpIntegralE(x,y) Funktion berechnet werden. für große Argumente wird es richtig kompliziert...

Die Gamma-Funktion (verschobene Fakultät n! ) hat neben der Integralschreibweise auch eine Summenschreibweise mit Bernoulli-Faktoren, die mit größeren Argumenten immer weniger Faktoren benötigt...

Hallo !

Nehmen wir zum Beispiel die Funktion f(x) = 2 * x ^ 3 - x ^ 2 - 2 * x +5

Wenn du jetzt den Flächeninhalt zwischen dieser Funktion und der x-Achse im kartesischen Koordinatensystem im Bereich von x1 =1 bis x2 = 10 wissen, dann gehst du so vor -->

Zuerst bildest du die Stammfunktion F(x) von f(x), die lautet -->

F(x) = (2 / 4) * x ^ 4 - (1 / 3) * x ^ 3 - (2 / 2) * x ^ 2 + (5 / 1) * x + C

C ist eine frei wählbare Konstante, also auch C = 0

Der Flächeninhalt beträgt nun F(10) - F(1) = (13850 / 3) - (25 / 6) =(9225 / 2)

LG Spielkamerad

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