kann man jede funktion ableiten die es gibt?

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3 Antworten

Übliches Gegenbeispiel: f(x) = |x|. Dieser Funktion kannst Du bei x=0 keine Steigung/Ableitung zuordnen.

Oder: Eine Funktion g ordne jeder rationalen Zahl die 0 und jeder irrationalen Zahl die 1 zu. Diese Funktion ist nirgends differenzierbar.

  Der Kindervater hat überhaupt keine Ahnung; wer noch nie von Differenzialrechnung gehört hat, sieht die Matematik mit den Augen eines Kindes an, das noch an den Klapperstorch glaubt .

   Aus der Differenzierbarkeit folgt die ===> Stetigkeit; als Gegenbeispiel nimm daher eine " patologische "  Funktion, die nirgends stetig ist, etwa die ===> Dirichletfunktion ( Kannst du unmöglich zeichnen )

   Aber nicht umgekehrt.  Dass es eine Funktion gibt, die auf ganz |R stetig ist, aber nirgends differenzierbar, entdeckte schon Karl Weierstrass 1880 . Aber seit 1980 gibt es sogar ein LMNTar konstruierbares Gegenbeispiel, die ===> Kochsche Schneeflockenkurve, ein ===> Fraktal .

     Sei f ( x ) definiert auf dem Intervall J ; wenn überall f ' ( x ) > 0 , ist f ( x ) streng monoton wachsend; das weißt du. Doch die ganz erstaunliche Umkehrung: Ist f ( x )  streng monoton wachsend auf J , so folgt 
f ' ( x ) > 0  ===> fastüberall ( f.ü. )  MONOTONOE ist MEHR als STETIGKEIT . Die Kochkurve ist aber NIRGENDS differenzierbar, kann dem zu Folge auch auf keinem noch so kleinen Intervall monoton sein . IHRE ( lokalen ) EXTREMATA LIEGEN DICHT

Ja, ja das hast du gut erkannt.
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